5. Zadatak

Nacrtamo dijagonalu $\overline{AC}$ te neka je točka E nožište okomice iz D na $\overline{AC}$, a točka F nožište okomice iz C na $\overline{AB}$.

Iz $\alpha : \beta : \gamma = 5 : 5 : 8$ i $\alpha + \beta + \gamma = 270^\circ$ slijedi $\alpha = \beta = 75^\circ$, $\gamma = 120^\circ$. Kako je $|AD| = |DC|$ i $|\angle ADC| = 90^\circ$, onda je $\triangle ACD$ jednakokračan pravokutan pa vrijedi $|\angle DAC| = |\angle ACD| = 45^\circ$. Dalje je $|\angle BCA| = \gamma - |\angle ACD| = 75^\circ$ pa je i trokut $\triangle ABC$ jednakokračan. Dakle, $|AC| = 10$ cm i $|\angle CAB| = 30^\circ$. To znači da je trokut $\triangle AFC$ polovica jednakostraničnog trokuta odnosno $|CF| = \frac{1}{2} \cdot |AC| = 5$ cm. S obzirom da je trokut $\triangle ACD$ jednakokračan pravokutan i $\overline{DE}$ visina na osnovicu $\overline{AC}$, onda je $|DE| = \frac{1}{2} \cdot |AC| = 5$ cm. Na kraju, $P_{ABCD} = P_{ABC} + P_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CF| + \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |DE| = 50\ \mathrm{cm}^2$.