4. Zadatak

Ako je $k=2l+1$, gdje je $l$ prirodan broj, tada imamo

$$k=2l+1=(l+1)^2-l^2.$$

Ako je $k=4l$, gdje je $l\ge2$ prirodan broj, tada imamo

$$k=4l=(l+1)^2-(l-1)^2.$$

Iz rastava $k=m^2-n^2=(m+n)(m-n)$, slijedi da ne može biti $k=1$, jer bi tada oba broja $m+n$ i $m-n$ trebala biti jednaka $1$, što je nemoguće, a također niti $k=4$, jer bi tada oba broja $m+n$ i $m-n$ trebala biti jednaka $2$, s obzirom da su $m+n$ i $m-n$ iste parnosti.

Pretpostavimo da prirodan broj $k=4l-2=2(2l-1)$, gdje je $l$ prirodan broj, možemo prikazati kao razliku kvadrata, tj.

$$k=m^2-n^2=(m+n)(m-n).$$

To bi značilo da je točno jedan od brojeva $m+n$ i $m-n$ paran, što je nemoguće, jer su oni uvijek iste parnosti.

Dakle, svi prirodni brojevi koji se mogu prikazati kao razlika kvadrata su oblika $k=2l+1$, gdje je $l$ prirodan broj i $k=4l$, gdje je $l\ge2$ prirodan broj.