3. Zadatak

Budući da stranice leže na paralelnim pravcima, $\triangle ABC$, $\triangle FDC$ i $\triangle EBD$ su međusobno slični.

Označimo površine trokuta $\triangle EBD$, $\triangle FDC$ i $\triangle ABC$ redom $P_1$, $P_2$ i $P_3$, a duljine stranica $\overline{EB}$, $\overline{FD}$ i $\overline{AB}$ redom $a_1$, $a_2$ i $a_3$.

Zbog sličnosti trokuta postoje koeficijenti sličnosti $k_1$ i $k_2$ takvi da je $a_1=k_1a_3$ i $a_2=k_2a_3$.

Kako je $a_1+a_2=a_3$, slijedi da je $k_1a_3+k_2a_3=a_3$, tj. $k_1+k_2=1$. (1)

Zbog sličnosti trokuta također vrijedi $P_1=k_1^2P_3$ i $P_2=k_2^2P_3$.

Kako je $P_3=27$ i razlika površina $\triangle EBD$ i $\triangle FDC$ iznosi $9$, slijedi

$$k_1^2\cdot27-k_2^2\cdot27=9,\quad\text{tj. }k_1^2-k_2^2=\frac13.\qquad (2)$$

Rastavimo razliku kvadrata na faktore:

$$(k_1+k_2)(k_1-k_2)=\frac13.$$

Kako je prema (1) $k_1+k_2=1$, zaključujemo da je $k_1-k_2=\frac13$.

Rješavanjem sustava

$$k_1+k_2=1$$ $$k_1-k_2=\frac13$$

dobivamo da je $2k_1=\frac43$, tj. $k_1=\frac23$, $k_2=\frac13$.

Površina $\triangle EBD$ je $P_1=\left(\frac23\right)^2\cdot27=\frac49\cdot27=12$.

Površina $\triangle FDC$ je $P_2=\left(\frac13\right)^2\cdot27=\frac19\cdot27=3$.