7. Zadatak

Zbroj svih parnih prirodnih brojeva $a$ za koje vrijedi $75\leq a\leq214$

1. način:

Parni prirodni brojevi koji zadovoljavaju nejednakost su $76$, $78$, $80$, $\ldots$, $212$, $214$.

• od $1$ do $214$ ima $214:2=107$ parnih brojeva
• od $1$ do $74$ ima $74:2=37$ parnih brojeva
• od $76$ do $214$ ima $107-37=70$ parnih brojeva

Zbroj brojeva iznosi

$$\begin{aligned} 76+78+80+\cdots+212+214&=(76+214)\cdot35\\ &=10\,150. \end{aligned}$$

2. način:

Parni prirodni brojevi koji zadovoljavaju nejednakost su $76$, $78$, $80$, $\ldots$, $212$, $214$.

$$\begin{aligned} 2+4+6+\cdots+212+214 &=2\cdot(1+2+3+\cdots+107)\\ &=2\cdot(1+107)\cdot107:2=11\,556 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 2+4+6+\cdots+72+74 &=2\cdot(1+2+3+\cdots+37)\\ &=2\cdot(1+37)\cdot37:2=1406 \end{aligned}$$ $$76+78+80+\cdots+212+214=11\,556-1406=10\,150$$

Zbroj svih neparnih prirodnih brojeva $b$ za koje vrijedi $135\leq b\leq242$

1. način:

Neparni prirodni brojevi koji zadovoljavaju nejednakost su $135$, $137$, $139$, $\ldots$, $239$, $241$.

• od $1$ do $242$ ima $242:2=121$ neparni broj
• od $1$ do $133$ ima $134:2=67$ neparnih brojeva
• od $135$ do $241$ ima $121-67=54$ neparna broja

Zbroj brojeva iznosi

$$\begin{aligned} 135+137+139+\cdots+239+241&=(135+241)\cdot27\\ &=10\,152. \end{aligned}$$

2. način:

Neparni prirodni brojevi koji zadovoljavaju nejednakost su $135$, $137$, $139$, $\ldots$, $239$, $241$.

• od $1$ do $242$ ima $242:2=121$ neparni broj
• od $1$ do $133$ ima $134:2=67$ neparnih brojeva

$$\begin{aligned} 1+3+5+\cdots+239+241 &=(0+1)+(2+1)+(4+1)+\cdots+(138+1)+(240+1)\\ &=(0+2+4+\cdots+240)+121\\ &=2\cdot(1+2+3+\cdots+120)+121\\ &=2\cdot(1+120)\cdot120:2+121=14\,641 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 1+3+5+\cdots+131+133 &=(0+1)+(2+1)+(4+1)+\cdots+(130+1)+(132+1)\\ &=(0+2+4+\cdots+132)+67\\ &=2\cdot(1+2+3+\cdots+66)+67\\ &=2\cdot(1+66)\cdot66:2+67=4489 \end{aligned}$$ $$135+137+139+\cdots+239+241=14\,641-4489=10\,152$$

3. način:

Neparni prirodni brojevi koji zadovoljavaju nejednakost su $135$, $137$, $139$, $\ldots$, $239$, $241$.

$$1+3+5+\cdots+239+241=121^2=14\,641$$ $$1+3+5+\cdots+131+133=67^2=4489$$ $$135+137+139+\cdots+239+241=14\,641-4489=10\,152$$ $$10\,152-10\,150=2$$

Veći je zbroj svih neparnih brojeva za $2$.