4. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$, $|\angle CBA|=\beta$ i $|\angle ACB|=\gamma$. Veličine odgovarajućih vanjskih kutova trokuta označimo $\alpha'$ i $\gamma'$.

$$\alpha'=180^\circ-\alpha$$ $$\frac{\alpha'}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$$ $$\gamma'=180^\circ-\gamma$$ $$\frac{\gamma'}{2}=90^\circ-\frac{\gamma}{2}$$

Trokut $CAE$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{CE}$ pa vrijedi da je $|\angle CEA|=|\angle ACB|=\gamma$.

Budući da je $|\angle EAB|=\frac{\alpha'}{2}$ i $|\angle ACE|+|\angle EAC|+|\angle CEA|=180^\circ$, vrijedi jednadžba

$$\gamma+\alpha+\frac{\alpha'}{2}+\gamma=180^\circ$$ $$2\gamma+\alpha+90^\circ-\frac{\alpha}{2}=180^\circ$$ $$2\gamma+\frac{\alpha}{2}=90^\circ\quad/\cdot2\quad\Longrightarrow\quad4\gamma+\alpha=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha=180^\circ-4\gamma$$

Trokut $ADC$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{AD}$ pa vrijedi da je $|\angle BAC|=|\angle CDA|=\alpha$.

Budući da je $|\angle BCD|=\frac{\gamma'}{2}$ i $|\angle DAC|+|\angle ACD|+|\angle CDA|=180^\circ$, vrijedi jednadžba

$$\alpha+\gamma+\frac{\gamma'}{2}+\alpha=180^\circ$$ $$2\alpha+\gamma+90^\circ-\frac{\gamma}{2}=180^\circ$$ $$2\alpha+\frac{\gamma}{2}=90^\circ\quad/\cdot2\quad\Longrightarrow\quad4\alpha+\gamma=180^\circ$$

Dalje slijedi

$$4(180^\circ-4\gamma)+\gamma=180^\circ$$ $$720^\circ-16\gamma+\gamma=180^\circ$$ $$\gamma=36^\circ$$ $$\alpha=180^\circ-4\cdot36^\circ=36^\circ,\qquad\beta=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ.$$

Drugi način:

Skica:

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$, $|\angle CBA|=\beta$ i $|\angle ACB|=\gamma$. Veličine odgovarajućih vanjskih kutova trokuta označimo $\alpha'$ i $\gamma'$.

Tada je $\alpha'=\beta+\gamma$ i $\gamma'=\alpha+\beta$.

Trokut $CAE$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{CE}$ pa vrijedi da je $|\angle CEA|=|\angle ACB|=\gamma$. Za zbroj veličina kutova u trokutu $CAE$ vrijedi

$$\gamma+\gamma+\left(\alpha+\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=180^\circ,$$

odnosno

$$\alpha+\frac12\beta+\frac52\gamma=180^\circ.$$

Trokut $ADC$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{AD}$ pa vrijedi da je $|\angle BAC|=|\angle CDA|=\alpha$. Za zbroj veličina kutova u trokutu $ADC$ vrijedi

$$\alpha+\alpha+\left(\gamma+\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=180^\circ,$$

odnosno

$$\frac52\alpha+\frac12\beta+\gamma=180^\circ.$$

Zbrajanjem dobivenih izraza nalazimo da je

$$\frac72\alpha+\beta+\frac72\gamma=360^\circ,$$

odakle, zbog činjenice da je $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, slijedi da je

$$\frac52\alpha+\frac52\gamma=180^\circ,$$

odnosno da je $\alpha+\gamma=72^\circ$.

Oduzimanjem dobivenih izraza nalazimo da je

$$\frac32\alpha-\frac32\gamma=0,$$

odakle slijedi da je $\alpha-\gamma=0$, odnosno da je $\alpha=\gamma$.

Iz $\alpha+\gamma=72^\circ$ i $\alpha=\gamma$ zaključujemo da je $\alpha=\gamma=36^\circ$, pa je $\beta=108^\circ$.