4. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Neka je (|\angle BAC|=\alpha), (|\angle CBA|=\beta) i (|\angle ACB|=\gamma). Veličine odgovarajućih vanjskih kutova trokuta označimo (\alpha’) i (\gamma’).

$$\alpha'=180^\circ-\alpha$$ $$\frac{\alpha'}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$$ $$\gamma'=180^\circ-\gamma$$ $$\frac{\gamma'}{2}=90^\circ-\frac{\gamma}{2}$$

Trokut (CAE) je jednakokračan s osnovicom (\overline{CE}) pa vrijedi da je (|\angle CEA|=|\angle ACB|=\gamma).

Budući da je (|\angle EAB|=\frac{\alpha’}{2}) i (|\angle ACE|+|\angle EAC|+|\angle CEA|=180^\circ), vrijedi jednadžba

$$\gamma+\alpha+\frac{\alpha'}{2}+\gamma=180^\circ$$ $$2\gamma+\alpha+90^\circ-\frac{\alpha}{2}=180^\circ$$ $$2\gamma+\frac{\alpha}{2}=90^\circ\quad/\cdot2\quad\Longrightarrow\quad4\gamma+\alpha=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha=180^\circ-4\gamma$$

Trokut (ADC) je jednakokračan s osnovicom (\overline{AD}) pa vrijedi da je (|\angle BAC|=|\angle CDA|=\alpha).

Budući da je (|\angle BCD|=\frac{\gamma’}{2}) i (|\angle DAC|+|\angle ACD|+|\angle CDA|=180^\circ), vrijedi jednadžba

$$\alpha+\gamma+\frac{\gamma'}{2}+\alpha=180^\circ$$ $$2\alpha+\gamma+90^\circ-\frac{\gamma}{2}=180^\circ$$ $$2\alpha+\frac{\gamma}{2}=90^\circ\quad/\cdot2\quad\Longrightarrow\quad4\alpha+\gamma=180^\circ$$

Dalje slijedi

$$4(180^\circ-4\gamma)+\gamma=180^\circ$$ $$720^\circ-16\gamma+\gamma=180^\circ$$ $$\gamma=36^\circ$$ $$\alpha=180^\circ-4\cdot36^\circ=36^\circ,\qquad\beta=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ.$$

Drugi način:

Skica:

Neka je (|\angle BAC|=\alpha), (|\angle CBA|=\beta) i (|\angle ACB|=\gamma). Veličine odgovarajućih vanjskih kutova trokuta označimo (\alpha’) i (\gamma’).

Tada je (\alpha’=\beta+\gamma) i (\gamma’=\alpha+\beta).

Trokut (CAE) je jednakokračan s osnovicom (\overline{CE}) pa vrijedi da je (|\angle CEA|=|\angle ACB|=\gamma). Za zbroj veličina kutova u trokutu (CAE) vrijedi

$$\gamma+\gamma+\left(\alpha+\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=180^\circ,$$

odnosno

$$\alpha+\frac12\beta+\frac52\gamma=180^\circ.$$

Trokut (ADC) je jednakokračan s osnovicom (\overline{AD}) pa vrijedi da je (|\angle BAC|=|\angle CDA|=\alpha). Za zbroj veličina kutova u trokutu (ADC) vrijedi

$$\alpha+\alpha+\left(\gamma+\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=180^\circ,$$

odnosno

$$\frac52\alpha+\frac12\beta+\gamma=180^\circ.$$

Zbrajanjem dobivenih izraza nalazimo da je

$$\frac72\alpha+\beta+\frac72\gamma=360^\circ,$$

odakle, zbog činjenice da je (\alpha+\beta+\gamma=180^\circ), slijedi da je

$$\frac52\alpha+\frac52\gamma=180^\circ,$$

odnosno da je (\alpha+\gamma=72^\circ).

Oduzimanjem dobivenih izraza nalazimo da je

$$\frac32\alpha-\frac32\gamma=0,$$

odakle slijedi da je (\alpha-\gamma=0), odnosno da je (\alpha=\gamma).

Iz (\alpha+\gamma=72^\circ) i (\alpha=\gamma) zaključujemo da je (\alpha=\gamma=36^\circ), pa je (\beta=108^\circ).