3. Zadatak

Ante i Branko zaradili su 2415 kuna te su ih odlučili međusobno podijeliti bacanjem dviju igraćih kocki. Ako kocke pokažu iste brojeve, Ante i Branko će podijeliti novac u omjeru (2:1), a ako ne pokažu iste brojeve, novac će podijeliti u omjeru (2:3). Koji je događaj vjerojatniji: da će Ante dobiti više od 1000 kn ili da će Branko dobiti manje od 1000 kn? Kolike su te vjerojatnosti?

Prvi način:

Ako kocke pokažu jednake brojeve, Ante i Branko dijele novac u omjeru (2:1).

Kako je (2415:3=805), Ante će dobiti (2\cdot805=1610) kn, a Branko 805 kn.

Ako brojevi na kockama budu različiti, Ante i Branko dijele novac u omjeru (2:3).

Budući da je (2415:5=483), Ante dobiva (2\cdot483=966) kn, a Branko (3\cdot483=1449) kn.

Oba događaja “Ante će dobiti više od 1000 kn” i “Branko će dobiti manje od 1000 kn” zbivaju se u slučaju kada kockice pokažu iste brojeve. Dakle, oba događaja imaju jednaku vjerojatnost.

Događaji bacanja dviju kocaka mogu se prikazati kao uređeni parovi brojeva iz skupa

\{1,2,3,4,5,6\}

odnosno

\{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,5),(6,6)\}.

Ukupan broj događaja bacanja dviju kocaka je (6\cdot6=36). Povoljni događaji mogu se prikazati kao skup uređenih parova

\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}.

Broj povoljnih događaja je 6.

Tražena vjerojatnost je

P=\frac{6}{36}=\frac16=0.16666\ldots\approx16.67\%.

Drugi način:

Ako kocke pokažu jednake brojeve, Ante i Branko dijele novac u omjeru (2:1).

U tom slučaju Ante će dobiti (2k) kn, a Branko (k) kn, pri čemu je (k) racionalan broj.

Vrijedi da je

2k+k=2415,\qquad 3k=2415,\qquad k=805.

Ante će dobiti (2\cdot805=1610) kn, a Branko 805 kn.

Ako brojevi na kockama budu različiti, Ante i Branko dijele novac u omjeru (2:3).

Tada će Ante dobiti (2l) kn, a Branko (3l) kn, pri čemu je (l) racionalan broj.

Budući da je

2l+3l=2415,\qquad 5l=2415,\qquad l=483.

Ante dobiva (2\cdot483=966) kn, a Branko (3\cdot483=1449) kn.