5. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Produlji se stranica $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ preko točke $B$. Točkom $A$ nacrta se pravac usporedan sa simetralom kuta $\angle CBA$. Sjecište tog pravca i pravca $BC$ označimo s $E$.

Trokut $AEB$ je jednakostraničan s duljinama stranica od 9 dm jer je $|\angle EAB|=|\angle CBD|=60^\circ$ (kutovi s usporednim kracima) i $|\angle ABE|=60^\circ$ ($\angle ABE$ i $\angle CBA$ su sukuti, $|\angle CBA|=120^\circ$) pa je i veličina trećeg kuta $|\angle BEA|=60^\circ$.

Trokut $AEC$ sličan je trokutu $DBC$ prema poučku o sličnosti trokuta K-K ($\angle ACE$ zajednički kut oba trokuta, $|\angle BEA|=|\angle CBD|=60^\circ$) te vrijedi:

$$|BC|:|EC|=|BD|:|EA|$$ $$6:(6+9)=|BD|:9$$ $$15\cdot|BD|=54$$ $$|BD|=3.6\ \text{dm}.$$

Drugi način:

Skica:

Produlji se stranica $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ preko točke $B$. Točkom $C$ nacrta se pravac usporedan sa simetralom kuta $\angle CBA$. Sjecište tog pravca i pravca $AB$ označimo s $E$.

Trokut $CBE$ je jednakostraničan s duljinama stranica od 6 dm jer je $|\angle DBA|=|\angle BCE|=60^\circ$ (kutovi s usporednim kracima) i $|\angle EBC|=60^\circ$ ($\angle EBC$ i $\angle CBA$ su sukuti, $|\angle CBA|=120^\circ$) pa je i veličina trećeg kuta $|\angle CEB|=60^\circ$.

Trokut $AEC$ sličan je trokutu $ABD$ prema poučku o sličnosti trokuta K-K ($\angle BAC$ zajednički kut oba trokuta, $|\angle DBA|=|\angle CEA|=60^\circ$) te vrijedi:

$$|AB|:|AE|=|BD|:|EC|$$ $$9:(6+9)=|BD|:6$$ $$15\cdot|BD|=54$$ $$|BD|=3.6\ \text{dm}.$$