5. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Produlji se stranica (\overline{BC}) trokuta (ABC) preko točke (B). Točkom (A) nacrta se pravac usporedan sa simetralom kuta (\angle CBA). Sjecište tog pravca i pravca (BC) označimo s (E).

Trokut (AEB) je jednakostraničan s duljinama stranica od 9 dm jer je (|\angle EAB|=|\angle CBD|=60^\circ) (kutovi s usporednim kracima) i (|\angle ABE|=60^\circ) ((\angle ABE) i (\angle CBA) su sukuti, (|\angle CBA|=120^\circ)) pa je i veličina trećeg kuta (|\angle BEA|=60^\circ).

Trokut (AEC) sličan je trokutu (DBC) prema poučku o sličnosti trokuta K-K ((\angle ACE) zajednički kut oba trokuta, (|\angle BEA|=|\angle CBD|=60^\circ)) te vrijedi:

$$|BC|:|EC|=|BD|:|EA|$$ $$6:(6+9)=|BD|:9$$ $$15\cdot|BD|=54$$ $$|BD|=3.6\ \text{dm}.$$

Drugi način:

Skica:

Produlji se stranica (\overline{AB}) trokuta (ABC) preko točke (B). Točkom (C) nacrta se pravac usporedan sa simetralom kuta (\angle CBA). Sjecište tog pravca i pravca (AB) označimo s (E).

Trokut (CBE) je jednakostraničan s duljinama stranica od 6 dm jer je (|\angle DBA|=|\angle BCE|=60^\circ) (kutovi s usporednim kracima) i (|\angle EBC|=60^\circ) ((\angle EBC) i (\angle CBA) su sukuti, (|\angle CBA|=120^\circ)) pa je i veličina trećeg kuta (|\angle CEB|=60^\circ).

Trokut (AEC) sličan je trokutu (ABD) prema poučku o sličnosti trokuta K-K ((\angle BAC) zajednički kut oba trokuta, (|\angle DBA|=|\angle CEA|=60^\circ)) te vrijedi:

$$|AB|:|AE|=|BD|:|EC|$$ $$9:(6+9)=|BD|:6$$ $$15\cdot|BD|=54$$ $$|BD|=3.6\ \text{dm}.$$