4. Zadatak

Prvi način:

Neka je $p$ ukupan broj plavih kuglica u kutiji, $c$ ukupan broj crvenih kuglica prije dodavanja, a $C$ ukupan broj crvenih kuglica nakon dodavanja potrebnog broja crvenih kuglica.

Zbog odnosa broja plavih i crvenih kuglica u kutiji prije dodavanja crvenih kuglica vrijedi da je

$$p:c=3:7\quad\text{odnosno}\quad p=\frac{3}{7}c.$$

Zbog odnosa broja plavih i crvenih kuglica nakon dodavanja određenog broja crvenih kuglica vrijedi da je

$$p:C=5:14\quad\text{odnosno}\quad p=\frac{5}{14}C.$$

Dalje slijedi da je

$$\frac{3}{7}c=\frac{5}{14}C\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{6}{5}c.$$

Budući da je

$$C=\frac{6}{5}c=\frac{120}{100}c=120\%c,$$

novi broj crvenih kuglica iznosi $120\%$ početnog broja crvenih kuglica.

Broj crvenih kuglica potrebno je povećati za $20\%$.

Drugi način:

Neka je $p$ ukupan broj plavih kuglica u kutiji, $c$ ukupan broj crvenih kuglica prije dodavanja, a $x$ broj dodanih crvenih kuglica.

Zbog odnosa broja plavih i crvenih kuglica na početku vrijedi da je

$$p:c=3:7\quad\text{odnosno}\quad p=\frac{3}{7}c.$$

Zbog odnosa broja plavih i crvenih kuglica nakon dodavanja određenog broja crvenih kuglica vrijedi da je

$$p:(c+x)=5:14\quad\text{odnosno}\quad p=\frac{5}{14}(c+x).$$

Dalje slijedi da je

$$\frac{3}{7}c=\frac{5}{14}(c+x)$$ $$\frac{3}{7}c=\frac{5}{14}c+\frac{5}{14}x\quad /\cdot 14$$ $$6c=5c+5x$$ $$x=\frac{1}{5}c.$$

Budući da je

$$x=\frac{1}{5}c=\frac{20}{100}c=20\%c,$$

broj crvenih kuglica potrebno je povećati za $20\%$.

Treći način:

Neka je $p$ ukupan broj plavih kuglica u kutiji, $c$ ukupan broj crvenih kuglica prije dodavanja, a $x$ broj dodanih crvenih kuglica.

Zbog odnosa broja plavih i crvenih kuglica na početku vrijedi da je $p:c=3:7$ odnosno postoji racionalan broj $m$ takav da je

$$p=3m\quad\text{i}\quad c=7m.$$

Zbog odnosa broja plavih i crvenih kuglica nakon dodavanja određenog broja crvenih kuglica vrijedi $p:(c+x)=5:14$ odnosno postoji racionalan broj $n$ takav da je

$$p=5n\quad\text{i}\quad c+x=14n.$$

Dalje slijedi da je

$$3m=5n\quad\text{odnosno}\quad m=\frac{5}{3}n.$$

Vrijedi

$$c=7\cdot m=7\cdot\frac{5}{3}n=\frac{35}{3}n$$

pa je

$$\frac{c+x}{c}=\frac{14n}{\frac{35}{3}n}=\frac{6}{5}.$$

Dakle,

$$x=\frac{1}{5}c=\frac{20}{100}c=20\%c.$$

Broj crvenih kuglica potrebno je povećati za $20\%$.