1. Zadatak

Prvi način:

Mogući ostaci pri dijeljenju s $3$ su $0$, $1$ i $2$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $3$ jednak $0$, tada je broj $\overline{401512a}$ djeljiv s $3$ i zbroj njegovih znamenaka mora biti djeljiv s $3$.

Zbroj znamenaka broja $\overline{401512a}$ je $13+a$ pa znamenka $a$ može biti $2$, $5$ i $8$. Brojevi zadanog oblika djeljivi s $3$ su $4015122$, $4015125$ i $4015128$. Od tih triju brojeva samo je broj $4015125$ djeljiv s $5$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $3$ jednak $1$, tada znamenka $a$ može biti $0$, $3$, $6$ i $9$. Brojevi zadanog oblika koji pri dijeljenju s $3$ imaju ostatak $1$ su $4015120$, $4015123$, $4015126$ i $4015129$.

Od tih četiriju brojeva samo broj $4015126$ pri dijeljenju s $5$ ima ostatak $1$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $3$ jednak $2$, tada znamenka $a$ može biti $1$, $4$ i $7$. Brojevi zadanog oblika koji pri dijeljenju s $3$ imaju ostatak $2$ su $4015121$, $4015124$ i $4015127$.

Od tih triju brojeva samo broj $4015127$ pri dijeljenju s $5$ ima ostatak $2$.

Drugi način:

Mogući ostaci pri dijeljenju s $3$ su $0$, $1$ i $2$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $5$ jednak $0$, tada je broj $\overline{401512a}$ djeljiv s $5$ i znamenka $a$ može biti $0$ i $5$. Brojevi zadanog oblika djeljivi s $5$ su $4015120$ i $4015125$. Od tih dvaju brojeva samo je broj $4015125$ djeljiv s $3$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $5$ jednak $1$, tada znamenka $a$ može biti $1$ i $6$. Brojevi zadanog oblika koji pri dijeljenju s $5$ imaju ostatak $1$ su $4015121$ i $4015126$. Od tih dvaju brojeva samo broj $4015126$ pri dijeljenju s $3$ ima ostatak $1$.

Ako je ostatak pri dijeljenju s $5$ jednak $2$, tada znamenka $a$ može biti $2$ i $7$. Brojevi zadanog oblika koji pri dijeljenju s $5$ imaju ostatak $2$ su $4015122$ i $4015127$. Od tih dvaju brojeva samo broj $4015127$ pri dijeljenju s $3$ ima ostatak $2$.

Treći način:

Pri dijeljenju s $3$ mogući ostaci su $0$, $1$ i $2$, a pri dijeljenju s $5$ mogući ostaci su $0$, $1$, $2$, $3$ i $4$. Dakle, jednaki ostaci mogu biti samo $0$, $1$ i $2$.

Neka je $k$ jedan od tih ostataka ($k\in\{0,1,2\}$).

Onda je broj $\overline{401512a}-k$ djeljiv i s $3$ i s $5$ (dakle, djeljiv je s $15$).

Broj $\overline{401512a}-k$ je djeljiv s $5$ pa mora završavati s $0$ ili $5$. Kako je $k$ jednak $0$, $1$ ili $2$, slijedi da je broj $\overline{401512a}-k$ jednak $4015120$ ili $4015125$.

Broj $4015120$ nije djeljiv s $3$ jer mu je zbroj znamenaka jednak $13$.

Broj $4015125$ je djeljiv s $3$ jer mu je zbroj znamenaka jednak $18$.

Kako je $a-k=5$ odnosno $a=5+k$, slijedi da znamenka $a$ može biti $5$, $6$ ili $7$.