7. Zadatak

Prvo rješenje.

Krenimo od slova U i pomaknimo se do slova T. Prebrojimo na koliko načina možemo stići iz slova T do pojedinog istaknutog slova K.

Do slova K koji se nalazi u istom stupcu kao slovo T dolazimo na $1$ način.

Od slova T do sljedećeg slova K dolazimo na $4$ načina.

Od slova T do idućeg slova K dolazimo na $6$ načina.

Od slova T do slova K u posljednjem stupcu dolazimo na $4$ načina.

Iz slova T do slova K dolazimo na $1+4+6+4=15$ načina.

Zbog simetričnosti tablice iz istog slova T do slova K u donjem dijelu tablice također dolazimo na $1+4+6+4=15$ načina.

Možemo zaključiti da se iz slova T do slova K dolazi na ukupno $15+15=30$ načina.

Kako imamo $4$ slova T, ukupno postoji $4\cdot30=120$ načina na koji se može ispisati riječ UTORAK.

Drugo rješenje.

Peti redak i peti stupac tablice dijele tablicu na četiri simetrična dijela.

Prebrojat ćemo mogućnosti rješenja za četvrtinu tablice ($5\times5$) i pomnožiti s $4$.

Krenut ćemo desno od slova U s $5$ slova U, T, O, R, A.

Može se nastaviti samo dolje na K, dakle, $1$ način.

Krenut ćemo desno od slova U s $4$ slova U, T, O, R.

Može se nastaviti dolje na A, a iz A desno na K ili dolje na K. Dakle, $2$ načina.

Krenut ćemo desno od slova U s $3$ slova U, T i O.

Može se nastaviti dolje na R, pa iz R vode $4$ načina (1. desno, desno, 2. desno, dolje, 3. dolje, desno, 4. dolje, dolje).

Krenut ćemo desno od slova U s $2$ slova U, T.

Može se nastaviti dolje na O, pa iz O vodi $8$ načina (1. desno, desno, desno, 2. desno, desno, dolje, 3. desno, dolje, desno, 4. desno, dolje, dolje, 5. dolje, desno, desno, 6. dolje, desno, dolje, 7. dolje, dolje, desno, 8. dolje, dolje, dolje).

Kad krećemo iz slova U udesno imamo ukupno $1+2+4+8=15$ načina.

Kad krećemo iz slova U prema dolje imamo $1+2+4+8=15$ načina kao što je opisano u koracima ispred.

Ukupno imamo $2\cdot15=30$ mogućnosti (u desnom donjem dijelu tablice), a sveukupno $4\cdot30=120$ načina za ispisivanje riječi UTORAK.

Treće rješenje.

Cijeli postupak može se skratiti tako da se gledaju dva slova K (slovo K u kružiću i slovo K u pravokutniku) koja su simetrično smještena s obzirom na dijagonalu četvrtine tablice.

Od slova U do zaokruženog slova K iznad dijagonale može se doći na $5$ različitih načina.

Od slova U do slova K istaknutog pravokutnikom (iznad dijagonale) može se doći na $10$ različitih načina.

U gornjem dijelu, iznad dijagonale od slova U do oba slova K može se doći na $5+10=15$ različitih načina.

Za simetrični dio ispod dijagonale vrijedi isto, postoji $5+10=15$ različitih načina.

Dakle, za četvrtinu tablice postoji $2\cdot15=30$ načina na koji se može ispisati riječ UTORAK.

Ukupno postoji $4\cdot30=120$ načina na koji se može ispisati riječ UTORAK.