5. Zadatak

Kako je $|AM| : |MB| = 1 : 2$, slijedi da je $|AM| = \frac13|AB|$. Slično, zbog $|AN| : |NC| = 1 : 3$, vrijedi $|AN| = \frac14|AC|$.

Usporedimo površine trokuta $AMN$ i $ABN$. Ta dva trokuta imaju zajedničku visinu, povučenu iz točke $N$, pa im se površine odnose kao odgovarajuće osnovice. Dakle, imamo

$$\frac{P(AMN)}{P(ABN)} = \frac{\frac{|AM|\cdot|NP|}{2}}{\frac{|AB|\cdot|NP|}{2}} = \frac{|AM|}{|AB|} = \frac13,$$

pri čemu je $P$ nožište visine iz točke $N$ na pravac $AB$. Zbog toga je $P(AMN) = \frac13 P(ABN)$.

Slično, usporedimo površine trokuta $ABN$ i $ABC$. Ta dva trokuta imaju zajedničku visinu, povučenu iz vrha $B$, pa im se površine odnose kao odgovarajuće osnovice. Dakle, imamo

$$\frac{P(ABN)}{P(ABC)} = \frac{\frac{|AN|\cdot|BQ|}{2}}{\frac{|AC|\cdot|BQ|}{2}} = \frac{|AN|}{|AC|} = \frac14,$$

pri čemu je $Q$ nožište visine iz točke $B$ na pravac $AC$.

Zbog toga je $P(ABN) = \frac14 P(ABC) = \frac14\cdot12 = 3$ cm².

Konačno, vrijedi $P(AMN) = \frac13P(ABN) = \frac13\cdot3 = 1$ cm².