7. Zadatak

Kako je zbroj prvih $9$ brojeva jednak $45$, zbroj brojeva u svakom retku mora biti jednak $15$.

Najprije analizirajmo na koliko se načina prvih $9$ prirodnih brojeva može podijeliti u skupine od po tri broja čiji je zbroj jednak $15$. Svaku takvu trojku brojeva ćemo upisivati u jedan redak.

U skupini u kojoj je broj $9$, zbroj preostalih brojeva mora biti $6$ pa su jedine dvije mogućnosti da su u toj skupini $9$, $5$, $1$ ili $9$, $4$, $2$.

Potom promotrimo skupinu u kojoj se nalazi broj $8$; kako zbroj preostala dva broja mora biti $7$, preostaju tri mogućnosti: $8$, $6$, $1$ ili $8$, $5$, $2$ ili $8$, $4$, $3$.

Ukoliko jednu skupinu čine $9$, $5$, $1$, onda druga skupina mora sadržavati $8$, $4$, $3$, a treća $7$, $6$, $2$.

Ukoliko jednu skupinu čine $9$, $4$, $2$, onda druga skupina mora sadržavati $8$, $6$, $1$, a treća je tada $7$, $5$, $3$.

Dakle, jedine dvije moguće podjele u tri skupine su:

• $9$, $5$, $1$; $8$, $4$, $3$; $7$, $6$, $2$
• $9$, $4$, $2$; $8$, $6$, $1$; $7$, $5$, $3$

Tri broja u jedan redak tablice $3\times3$ možemo upisati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina.

Kako imamo tri retka, za fiksiran raspored brojeva po recima, tri retka možemo ispuniti na

$$6\cdot6\cdot6=216$$

načina, a kako tri retka možemo poredati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina, za fiksiranu podjelu u tri skupine imamo

$$216\cdot6=6^4=1296$$

mogućnosti upisivanja.

Ukupno, s obzirom da imamo dvije mogućnosti podjele u skupine, broj mogućnosti je

$$2\cdot6^4=2592.$$