6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je

$$n-24,n-23,\ldots,n-1,n,n+1,\ldots,n+24,n+25$$

pedeset uzastopnih prirodnih brojeva, $n\geq25$.

Tada je

$$n-24+n-23+\cdots+n-1+n+n+1+\cdots+n+24+n+25=50n+25,$$

tj.

$$50n+25=25(2n+1).$$

Kako je $25$ potpuni kvadrat, onda i $2n+1$ mora biti potpuni kvadrat uz uvjet $n\geq25$.

Iz $2n+1\geq51$ i $2n+1$ je neparan broj slijedi da je najmanji potpuni kvadrat $81$.

Znači, $2n+1=81$ pa je zbroj

$$25(2n+1)=25\cdot81=2025.$$

Uz iste uvjete za $2n+1$, sljedeći po veličini potpuni kvadrat je $121$, a zbroj je

$$25(2n+1)=25\cdot121=3025.$$

Dva najmanja moguća zbroja su $2025$ i $3025$.

Drugo rješenje.

Neka je $n,n+1,\ldots,n+49$ pedeset uzastopnih prirodnih brojeva, $n\geq1$.

Tada je

$$n+n+1+\cdots+n+49=50n+\frac{49\cdot50}{2}=50n+49\cdot25,$$

tj.

$$50n+49\cdot25=25(2n+49).$$

Kako je $25$ potpuni kvadrat, onda i $2n+49$ mora biti potpuni kvadrat uz uvjet $n\geq1$.

Iz $2n+49\geq51$ i $2n+49$ je neparan broj slijedi da je najmanji potpuni kvadrat $81$.

Znači, $2n+49=81$ pa je zbroj

$$25(2n+49)=25\cdot81=2025.$$

Uz iste uvjete za $2n+49$, sljedeći po veličini potpuni kvadrat je $121$, a zbroj je

$$25(2n+49)=25\cdot121=3025.$$

Dva najmanja moguća zbroja su $2025$ i $3025$.

Primjedba. Do zbroja pedeset uzastopnih brojeva se u drugom načinu rješavanja može doći i malo izravnije: $50$ uzastopnih brojeva $n,n+1,\ldots,n+49$ napišemo kao

$$(n+n+49)+(n+1+n+48)+\cdots+(n+24+n+25)=25(2n+49),$$

iako je u osnovi istovjetna ideja.