4. Zadatak

Prvo rješenje.

Skica:

Budući da je jedan šiljasti kut pravokutnog trokuta $50^\circ$, drugi šiljasti kut mora biti $40^\circ$ jer je zbroj kutova uz hipotenuzu $90^\circ$.

Okomice iz središta $S$ sijeku stranice trokuta u točkama $X$, $Y$ i $Z$ i vrijedi da su dužine $\overline{SX}$, $\overline{SY}$ i $\overline{SZ}$ jednake duljine jer je središte upisane kružnice jednako udaljeno od svih triju stranica trokuta.

Kako je zbroj veličina kutova u četverokutu jednak $360^\circ$, a u četverokutu $ZAXS$ poznate veličine kutova su $50^\circ$, $90^\circ$ i $90^\circ$, slijedi da je veličina kuta pri vrhu $S$ jednaka $130^\circ$.

U četverokutu $XBYS$ poznate veličine kutova su $40^\circ$, $90^\circ$ i $90^\circ$ pa je veličina kuta pri vrhu $S$ jednaka $140^\circ$.

Četverokut $YCZS$ je kvadrat pa su svi kutovi pravi.

Promatramo trokute $ZXS$, $XYS$ i $YZS$ koji su jednakokračni jer su stranice $\overline{SX}$, $\overline{SY}$ i $\overline{SZ}$ jednake duljine pa su to ujedno i krakovi tih trokuta.

Kako je zbroj veličina kutova u trokutu jednak $180^\circ$, zaključujemo da su veličine kutova uz osnovicu

u trokutu $ZXS$ jednake $(180^\circ-130^\circ):2=25^\circ$,

u trokutu $XYS$ su $(180^\circ-140^\circ):2=20^\circ$

i u trokutu $YZS$ su $(180^\circ-90^\circ):2=45^\circ$.

Prema tome su veličine kutova trokuta $XYZ$ jednake

$$20^\circ+25^\circ=45^\circ,$$ $$20^\circ+45^\circ=65^\circ$$

i

$$25^\circ+45^\circ=70^\circ.$$

Drugo rješenje.

Skica:

Budući da je jedan šiljasti kut pravokutnog trokuta $50^\circ$, drugi šiljasti kut mora biti $40^\circ$ jer je zbroj kutova uz hipotenuzu $90^\circ$.

Trokuti $CZY$, $ZAX$ i $XBY$ su jednakokračni, jer je $|CY|=|CZ|$, $|AZ|=|AX|$ i $|BX|=|BY|$ (što slijedi iz sukladnosti trokuta $CZS$ i $SYC$, zatim $ZAS$ i $AXS$ te $XBS$ i $BYS$, a i inače je poznata činjenica koja se može koristiti bez dokaza).

Zato je

$$|\angle CYZ|=|\angle YZC|=\frac{180^\circ-|\angle ZCY|}{2}=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ,$$ $$|\angle AZX|=|\angle ZXA|=\frac{180^\circ-|\angle XAZ|}{2}=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ$$

i

$$|\angle BXY|=|\angle XYB|=\frac{180^\circ-|\angle YBX|}{2}=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ.$$

Zato su traženi kutovi

$$|\angle ZYX|=180^\circ-|\angle CYZ|-|\angle XYB|=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ,$$ $$|\angle YXZ|=180^\circ-|\angle BXY|-|\angle ZXA|=180^\circ-70^\circ-65^\circ=45^\circ,$$ $$|\angle XZY|=180^\circ-|\angle AZX|-|\angle YZC|=180^\circ-65^\circ-45^\circ=70^\circ$$

(ili $|\angle XZY|=180^\circ-|\angle ZYX|-|\angle YXZ|=180^\circ-65^\circ-45^\circ=70^\circ$).