1. Zadatak

Odredi sve parove dvoznamenkastih prirodnih brojeva za koje vrijedi:

oba su broja zapisana istim znamenkama, ali u obrnutom redoslijedu
razlika prvoga i drugoga broja kvadrat je prirodnog broja
zbroj prvoga i drugoga broja višekratnik je broja $3$ .

Prvo rješenje.

Neka je $(\overline{ab},\overline{ba})$ par opisanih dvoznamenkastih brojeva, pri čemu je $a,b\in\{1,\ldots,9\}$ . Kako je razlika prvog i drugog broja kvadrat prirodnog broja, prvi broj mora biti veći, tj. $\overline{ab}>\overline{ba}$ . Tada je i $a>b$ .

Zbroj

\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11\cdot(a+b)

mora biti višekratnik broja $3$ , pa zbroj $a+b$ mora biti višekratnik broja $3$ . Provjerimo sve mogućnosti za takav broj $\overline{ab}$ .

$\overline{ab}$	$\overline{ba}$	uvjeti ispunjeni
$21$	$12$	Da, $21-12=9$ .
$42$	$24$	Ne, $42-24=18$ .
$51$	$15$	Da, $51-15=36$ .
$54$	$45$	Da, $54-45=9$ .
$63$	$36$	Ne, $63-36=27$ .
$72$	$27$	Ne, $72-27=45$ .
$75$	$57$	Ne, $75-57=18$ .
$81$	$18$	Ne, $81-18=63$ .
$84$	$48$	Da, $84-48=36$ .
$87$	$78$	Da, $87-78=9$ .
$93$	$39$	Ne, $93-39=54$ .

Traženi parovi brojeva su $(87,78)$ , $(54,45)$ , $(21,12)$ , $(84,48)$ i $(51,15)$ .

Drugo rješenje.

Zbroj

\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11\cdot(a+b)

mora biti višekratnik broja $3$ , pa zbroj $a+b$ mora biti višekratnik broja $3$ .

Razlika

\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b=9\cdot(a-b)

mora biti kvadrat prirodnog broja. Kako je $a-b\leq8$ , a kvadrati prirodnih brojeva su, redom, $1,4,9,16,25,\ldots$ , mora biti $a-b\in\{1,4\}$ .

Promotrimo oba slučaja.

Ako je $a-b=1$ :

$a$	$b$	uvjeti ispunjeni	par
$9$	$8$	Ne, $9+8=17$ nije višekratnik broja $3$ .
$8$	$7$	Da.	$(87,78)$
$7$	$6$	Ne, $7+6=13$ nije višekratnik broja $3$ .
$6$	$5$	Ne, $6+5=11$ nije višekratnik broja $3$ .
$5$	$4$	Da.	$(54,45)$
$4$	$3$	Ne, $4+3=7$ nije višekratnik broja $3$ .
$3$	$2$	Ne, $3+2=5$ nije višekratnik broja $3$ .
$2$	$1$	Da.	$(21,12)$

Ako je $a-b=4$ :

$a$	$b$	uvjeti ispunjeni	par
$9$	$5$	Ne, $9+5=14$ nije višekratnik broja $3$ .
$8$	$4$	Da.	$(84,48)$
$7$	$3$	Ne, $7+3=10$ nije višekratnik broja $3$ .
$6$	$2$	Ne, $6+2=8$ nije višekratnik broja $3$ .
$5$	$1$	Da.	$(51,15)$

Traženi parovi brojeva su $(87,78)$ , $(54,45)$ , $(21,12)$ , $(84,48)$ i $(51,15)$ .