7. Zadatak

Znamo da je:

$$\begin{aligned} A+B&=9\\ B+C&=10\\ C+D&=14 \end{aligned}$$

Prvi način.

Primjer zapisivanja rasprave riječima:

Ako je $A+B=9$ onda može biti:

$A=1$, $B=8$

Tada bi bilo: $8+C=10$, $C=2$, a iz $2+D=14$, $D=12$. $12>9$, pa odbacujemo tu varijantu.

Ako je: $A=2$, $B=7$

Tada bi bilo: $7+C=10$, $C=3$, a iz $3+D=14$, $D=11$. $11>9$, pa odbacujemo tu varijantu.

Ako je $A=3$, $B=6$

Tada bi bilo: $6+C=10$, $C=4$, a iz $4+D=14$, $D=10$. $10>9$, pa odbacujemo tu varijantu.

Ako je: $A=4$, $B=5$

Tada bi bilo: $5+C=10$, $C=5$, a kako svi trokuti imaju različite vrijednosti odbacujemo i tu varijantu.

Ako je: $A=5$, $B=4$

Tada bi bilo: $4+C=10$, $C=6$, a iz $6+D=14$, $D=8$. Svi trokuti imaju različite vrijednosti od $1$ do $9$, pa je ovo jedno rješenje.

Ako je $A=6$, $B=3$

Tada bi bilo: $3+C=10$, $C=7$, a iz $7+D=14$, $D=7$. Tada je $C=D=7$, pa odbacujemo tu varijantu jer svi trokuti imaju različite vrijednosti.

Ako je: $A=7$, $B=2$

Tada bi bilo: $2+C=10$, $C=8$, a iz $8+D=14$, $D=6$. Svi trokuti imaju različite vrijednosti od $1$ do $9$, pa je ovo još jedno rješenje.

Ako je: $A=8$, $B=1$

Tada bi bilo: $1+C=10$, $C=9$, a iz $9+D=14$, $D=5$. Svi trokuti imaju različite vrijednosti od $1$ do $9$, pa je ovo još jedno rješenje.

Primjer zapisivanja rasprave tablicom uz istu početnu pretpostavku:

$A$	$B$	$C$	$D$
$A=1$	$B=8$	$C=2$	$D=12>9$ ne može
$A=2$	$B=7$	$C=3$	$D=11>9$ ne može
$A=3$	$B=6$	$C=4$	$D=10>9$ ne može
$A=4$	$B=5$	$C=5=B$ ne može (svi trokuti imaju različite vrijednosti)
$A=5$	$B=4$	$C=6$	$D=8$ prvo rješenje
$A=6$	$B=3$	$C=7$	$D=7=C$ ne može (svi trokuti imaju različite vrijednosti)
$A=7$	$B=2$	$C=8$	$D=6$ drugo rješenje
$A=8$	$B=1$	$C=9$	$D=5$ treće rješenje

Dakle, imamo tri moguća rješenja:

$$\begin{aligned} B&=4\\ B&=2\\ B&=1 \end{aligned}$$

Iz $B+C=10$ treba uočiti $7$ različitih mogućnosti za $B$ i $C$.

$B=C=5$ je jedna mogućnost koju odbacujemo.

Za vrijednosti $A$ i $D$ postoje $3$ mogućnosti koje odbacujemo.

Zaključno, treba uočiti da postoje $3$ mogućnosti koje mogu biti rješenje.

Učenik raspravu može zapisivati riječima ili tablicom.

$B$	$C$	$A$	$D$
$B=1$	$C=9$	$A=8$	$D=5$ prvo rješenje
$B=9$	$C=1$	$A=0$, ne može jer $0$ nije prirodan broj
$B=8$	$C=2$	$A=1$	$D=12>9$ ne može
$B=2$	$C=8$	$A=7$	$D=6$ drugo rješenje
$B=4$	$C=6$	$A=5$	$D=8$ treće rješenje
$B=6$	$C=4$	$A=3$	$D=10>9$ ne može
$B=5$	$C=5$, ne može (svi trokuti imaju različite vrijednosti)

Iz $C+D=14$ treba uočiti $5$ mogućnosti.

$C=D=7$ nije moguće.

Dalje, za vrijednosti $A$, $B$ postoji $1$ kombinacija koje nije rješenje.

Zaključno, treba uočiti da postoje $3$ kombinacije koje mogu biti rješenje.

Učenik raspravu može zapisivati riječima ili tablicom.

$C$	$D$	$B$	$A$
$C=5$	$D=9$	$B=5$ ne može (svi trokuti imaju različite vrijednosti)
$C=9$	$D=5$	$B=1$	$A=8$ prvo rješenje
$C=6$	$D=8$	$B=4$	$A=5$ drugo rješenje
$C=8$	$D=6$	$B=2$	$A=7$ treće rješenje
$C=7$	$D=7$, ne može (svi trokuti imaju različite vrijednosti)

Drugi način.

$A$ je vrijednost prvog trokuta.

$B=9-A$ je vrijednost drugog trokuta.

$C=A+1$ je vrijednost trećeg trokuta.

$D=13-A$ je vrijednost četvrtog trokuta.

Zbog $D=13-A$ slijedi $A>3$ (jer bi u suprotnom bio $D>9$, što ne može biti zbog uvjeta zadatka).

$C=B=5$ ne može biti rješenje.

$D=C=7$ ne može biti rješenje.

Zaključno, treba uočiti da postoje $3$ kombinacije koje mogu biti rješenje.

Primjer zapisivanja rasprave tablicom uz istu početnu pretpostavku:

$A$	$B$	$C$	$D$
$A=4$	$B=5$	$C=5=B$ svi trokuti moraju imati različite vrijednosti pa odbacujemo ovu varijantu.
$A=5$	$B=4$	$C=6$	$D=8$	Prvo rješenje
$A=6$	$B=3$	$C=7$	$D=7=C$ svi trokuti moraju imati različite vrijednosti pa odbacujemo ovu varijantu.
$A=7$	$B=2$	$C=8$	$D=6$	Drugo rješenje
$A=8$	$B=1$	$C=9$	$D=5$	Treće rješenje

Dakle, imamo tri moguća rješenja, tj. $B$ može iznositi $1$, $2$ ili $4$.