4. Zadatak

Prvi način:

Neka je $P$ površina trokuta $\triangle ECF$.

Točka F je polovište dužine $\overline{ED}$ pa vrijedi $|DF|=|FE|$ što znači da je površina trokuta $\triangle DFC$ jednaka površini trokuta $\triangle ECF$ jer imaju osnovicu jednake duljine i zajedničku visinu iz vrha C.

Dakle, površina trokuta $\triangle DEC$ jednaka je $2P$.

Točka E je polovište dužine $\overline{BD}$ pa vrijedi $|DE|=|EB|$ što znači da je površina trokuta $\triangle EBC$ jednaka površini trokuta $\triangle DEC$ jer imaju osnovicu jednake duljine i zajedničku visinu iz vrha C.

Dakle, površina trokuta $\triangle EBC$ jednaka je $2P$ pa je površina trokuta $\triangle CDB$ jednaka $4P$.

Kako je ABCD pravokutnik, vrijedi $|AB|=|CD|$, $|\angle BAD|=|\angle DCB|$ i $|AD|=|CB|$ pa prema poučku S-K-S o sukladnosti slijedi $\triangle ABD\cong\triangle CDB$.

Prema tome je površina trokuta $\triangle ABD$ jednaka $4P$, a površina četverokuta ABCD jednaka je $8P$.

Količnik površine trokuta $\triangle ECF$ i površine četverokuta ABCD iznosi

$$\frac{P}{8P}=\frac{1}{8}=0.125.$$

Drugi način:

Točka F je polovište dužine $\overline{ED}$ pa vrijedi $|DF|=|FE|$ što znači da je površina trokuta $\triangle DFC$ jednaka površini trokuta $\triangle ECF$ jer imaju osnovicu jednake duljine i zajedničku visinu iz vrha C.

Dakle, površina trokuta $\triangle ECF$ jednaka je $\frac{1}{2}$ površine trokuta $\triangle DEC$.

Točka E je polovište dužine $\overline{BD}$ pa vrijedi $|DE|=|EB|$ što znači da je površina trokuta $\triangle EBC$ jednaka površini trokuta $\triangle DEC$ jer imaju osnovicu jednake duljine i zajedničku visinu iz vrha C.

Dakle, površina trokuta $\triangle DEC$ jednaka je $\frac{1}{2}$ površine trokuta $\triangle CDB$ odnosno površina trokuta $\triangle ECF$ jednaka je $\frac{1}{4}$ površine trokuta $\triangle CDB$.

Kako je ABCD pravokutnik, vrijedi $|AB|=|CD|$, $|\angle BAD|=|\angle DCB|$ i $|AD|=|CB|$ pa prema poučku S-K-S o sukladnosti slijedi $\triangle ABD\cong\triangle CDB$.

Prema tome je površina trokuta $\triangle CDB$ jednaka $\frac{1}{2}$ površine četverokuta ABCD odnosno površina trokuta $\triangle ECF$ jednaka je $\frac{1}{8}$ površine četverokuta ABCD.

Količnik površine trokuta $\triangle ECF$ i površine četverokuta ABCD iznosi

$$\frac{1}{8}=0.125.$$

Treći način:

Označimo s $d$ duljinu dijagonale $\overline{BD}$ pravokutnika ABCD.

Neka je $v$ visina pravokutnog trokuta $\triangle BCD$ iz vrha C na hipotenuzu $\overline{BD}$.

Vrijedi

$$|EF|=\frac{1}{2}|ED|=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|BD|=\frac{1}{4}d.$$

$v$ je također i visina trokuta $\triangle ECF$.

Dakle,

$$P_{\triangle ECF}=\frac{|EF|\cdot v}{2}=\frac{\frac{1}{4}d\cdot v}{2}=\frac{dv}{8}.$$

Kako je ABCD pravokutnik, vrijedi $|AB|=|CD|$, $|\angle BAD|=|\angle DCB|$ i $|AD|=|CB|$ pa prema poučku S-K-S o sukladnosti slijedi $\triangle ABD\cong\triangle CDB$.

Tada je

$$P_{ABCD}=2P_{\triangle CDB}=2\cdot\frac{|BD|\cdot v}{2}=dv.$$

Količnik površine trokuta $\triangle ECF$ i površine četverokuta ABCD iznosi

$$\frac{\frac{dv}{8}}{dv}=\frac{1}{8}=0.125.$$