3. Zadatak

Prvi način.

Neka je $n$ broj igrača iz grada $B$, a $k$ broj bodova svakog od igrača iz grada $B$.

Tada je ukupan broj igrača $n+2$.

Budući da je svaki par igrača igrao međusobno po jednu partiju, ukupan broj partija je

$$\frac{(n+2)(n+1)}{2}.$$

Zbroj bodova svih igrača jednak je broju odigranih partija.

Povezivanjem ovih zaključaka dobivamo jednakost

$$\frac{(n+2)(n+1)}{2}=nk+8.$$

Slijedi

$$(n+2)(n+1)=2nk+16$$ $$n^2+3n+2=2nk+16$$ $$n^2+3n-2nk=16-2$$ $$n(n+3-2k)=14.$$

Brojevi $n$ i $2k$ su prirodni pa $n$ mora biti djelitelj broja 14.

Za $n=1$ je $n+3-2k=14$ pa je $k=-5$ što nije moguće.

Za $n=2$ je $n+3-2k=7$ pa je $k=-1$ što nije moguće.

Za $n=7$ je $n+3-2k=2$ pa je $k=4$.

Za $n=14$ je $n+3-2k=1$ pa je $k=8$.

Preostaje pokazati primjerima da su obje ove situacije moguće.

Neka su $A_1$ i $A_2$ igrači iz grada $A$, a $B_1,B_2,\ldots,B_n$ igrači iz grada $B$.

Za $n=7$ svaki igrač je odigrao 8 partija. Ako su sve partije završile neriješeno, onda će svi igrači imati 4 boda i uvjeti zadatka su zadovoljeni.

Za $n=14$ svaki igrač je odigrao 15 partija.

Neka su neriješeno završile partije:

• između igrača $A_1$ i $A_2$,
• između igrača $A_1$ i svakog od igrača $B_1,\ldots,B_7$,
• između igrača $A_2$ i svakog od igrača $B_8,\ldots,B_{14}$,
• između svaka dva igrača iz grada $B$.

Neka su sve ostale partije završile pobjedom igrača iz grada $B$. Tada će svaki igrač iz grada $A$ imati ukupno 4 boda, a svaki igrač iz grada $B$ ukupno 8 bodova i uvjeti zadatka su ispunjeni.

Drugi način.

Neka je $n$ broj igrača iz grada $B$, a $k$ broj bodova svakog od igrača iz grada $B$.

Tada je ukupan broj igrača $n+2$.

Budući da je svaki par igrača igrao međusobno po jednu partiju, ukupan broj partija je

$$\frac{(n+2)(n+1)}{2}.$$

Zbroj bodova svih igrača jednak je broju odigranih partija.

Povezivanjem ovih zaključaka dobivamo jednakost

$$\frac{(n+2)(n+1)}{2}=nk+8.$$

Slijedi

$$(n+2)(n+1)=2nk+16$$ $$n^2+3n+2=2nk+16$$ $$2nk=n^2+3n+2-16$$ $$2k\cdot n=n^2+3n-14$$ $$2k=\frac{n^2+3n-14}{n}=n+3-\frac{14}{n}.$$

Budući da $2k$ mora biti prirodan broj, zaključujemo da $n$ mora biti djelitelj broja 14.

Za $n=1$ je $2k=-10$ pa je $k=-5$ što nije moguće.

Za $n=2$ je $2k=-2$ pa je $k=-1$ što nije moguće.

Za $n=7$ je $2k=8$ pa je $k=4$.

Za $n=14$ je $2k=16$ pa je $k=8$.

Preostaje pokazati primjerima da su obje ove situacije moguće.

Neka su $A_1$ i $A_2$ igrači iz grada $A$, a $B_1,B_2,\ldots,B_n$ igrači iz grada $B$.

Za $n=7$ svaki igrač je odigrao 8 partija. Ako su sve partije završile neriješeno, onda će svi igrači imati 4 boda i uvjeti zadatka su zadovoljeni.

Za $n=14$ svaki igrač je odigrao 15 partija.

Neka su neriješeno završile partije:

• između igrača $A_1$ i $A_2$,
• između igrača $A_1$ i svakog od igrača $B_1,\ldots,B_7$,
• između igrača $A_2$ i svakog od igrača $B_8,\ldots,B_{14}$,
• između svaka dva igrača iz grada $B$.

Neka su sve ostale partije završile pobjedom igrača iz grada $B$. Tada će svaki igrač iz grada $A$ imati ukupno 4 boda, a svaki igrač iz grada $B$ ukupno 8 bodova i uvjeti zadatka su ispunjeni.