5. Zadatak

Kako je $\triangle A_1B_1C_1\sim\triangle A_2B_2C_2$, onda je $\alpha_1=\alpha_2$, $\beta_1=\beta_2$ i $\gamma_1=\gamma_2$.

Prema poučku o obodnom i središnjem kutu vrijedi $\lvert\angle A_1S_1B_1\rvert=2\gamma_1$ odnosno $\lvert\angle A_2S_2B_2\rvert=2\gamma_2$.

Dakle,

$$\lvert\angle A_1S_1B_1\rvert=2\gamma_1=2\gamma_2=\lvert\angle A_2S_2B_2\rvert.$$

S obzirom da je $|A_1S_1|=|S_1B_1|=r_1$, onda je $\triangle A_1B_1S_1$ jednakokračan te je

$$\lvert\angle B_1A_1S_1\rvert=\frac{180^\circ-2\gamma_1}{2}.$$

Isto tako je $|A_2S_2|=|S_2B_2|=r_2$ pa je $\triangle A_2B_2S_2$ jednakokračan i vrijedi

$$\lvert\angle B_2A_2S_2\rvert=\frac{180^\circ-2\gamma_2}{2}.$$

Dakle, $\lvert\angle B_1A_1S_1\rvert=\lvert\angle B_2A_2S_2\rvert$.

Prema poučku K-K o sličnosti slijedi $\triangle A_1B_1S_1\sim\triangle A_2B_2S_2$ pa je

$$\frac{|A_2S_2|}{|A_1S_1|}=\frac{|A_2B_2|}{|A_1B_1|}$$

odnosno

$$\frac{r_2}{r_1}=k$$

što je i trebalo dokazati.