4. Zadatak

Neka su vrhovi kocke standardno označeni s $A$, $B$, $\ldots$, $H$.

Neka je broj upisan na donju stranu $x$, a na gornju $a$.

Neka je broj upisan na prednju stranu $y$, a na stražnju $b$.

Neka je broj upisan na lijevu stranu $z$, a na desnu $c$.

$x$, $a$, $y$, $b$, $z$ i $c$">

Tada je redom vrhu $A$ pridružen je broj $xyz$, vrhu $B$ broj $xyc$, vrhu $C$ broj $xbc$, vrhu $D$ broj $xzb$, vrhu $E$ broj $yza$, vrhu $F$ broj $yac$, vrhu $G$ broj $abc$ i vrhu $H$ broj $zab$.

Vrijedi:

$$xyz+xyc+xbc+xzb+yza+yac+abc+zab=455$$ $$x\cdot(yz+yc+bc+zb)+a\cdot(yz+yc+bc+zb)=455$$ $$(yz+yc+bc+zb)\cdot(x+a)=455$$ $$[y\cdot(z+c)+b\cdot(c+z)]\cdot(x+a)=455$$ $$(z+c)\cdot(y+b)\cdot(x+a)=455$$

Rastav broja $455$ na proste faktore je:

$$455=5\cdot7\cdot13.$$

Očito su zbrojevi brojeva na suprotnim stranama kocke jednaki $5$, $7$ i $13$ (u bilo kojem poretku).

Tada je zbroj svih brojeva napisanih na kocki

$$x+y+z+a+b+c=(x+a)+(y+b)+(z+c)=5+7+13=25.$$