5. Zadatak

Ako su dane točke $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ onda je njihovo polovište dano s

$$P\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).\tag{1}$$

Podijelimo sve točke s cjelobrojnim koordinatama u četiri skupa:

$S_1$ – skup točaka čije apscisa i ordinata daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $2$,

$S_2$ – skup točaka čije su apscisa i ordinata djeljive s $2$,

$S_3$ – skup točaka čija apscisa daje ostatak $1$ pri dijeljenju $2$, a ordinata je djeljiva s $2$,

$S_4$ – skup točaka čija je apscisa djeljiva s $2$, a ordinata daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $2$.

Između $9$ točaka, prema Dirichletovom principu, sigurno postoje $3$ koje pripadaju jednom od četiri gore navedena skupa. Te tri točke su vrhovi trokuta (jer nikoje tri točke ne leže na istom pravcu) i za te tri točke vrijedi da polovište svake tri dužine koje te točke određuju (a to su stranice trokuta), kao obje koordinate ima prirodne brojeve, zbog činjenice da je zbroj apscisa, kao i zbroj ordinata, dvije takve točke paran broj i zbog (1).

Ako imamo skup od $8$ točaka, pri čemu su po dvije iz svakog od skupova $S_1$, $S_2$, $S_3$ i $S_4$, primjerice skup koji se sastoji od točaka $(0,0)$, $(0,2)$, $(1,0)$, $(1,2)$, $(2,1)$, $(2,3)$, $(3,1)$ i $(3,3)$, onda će među bilo koje $3$ izabrane točke biti bar dvije točke iz različitih skupova $S_1$, $S_2$, $S_3$ i $S_4$, a kako zbroj apscisa ili zbroj ordinata dvije točke iz različita dva gore navedena skupa nije paran, prema (1), apscisa ili ordinata nekog polovišta nije cijeli broj.

(Slika prikazuje navedeni izbor osam točaka od kojih nikoje tri nisu na istom pravcu.)

Dakle, najmanji prirodan broj $n$ s traženim svojstvom je $n=9$.