3. Zadatak

Neka je $n$ traženi broj.

Tada je $n=17x+5$ odnosno $n=24y+3$, $x,y\in\mathbb{Z}$.

Dakle,

$$17x+5=24y+3$$ $$17x=24y-2$$ $$x=\frac{24y-2}{17}=\frac{17y+7y-2}{17}=y+\frac{7y-2}{17}$$ $$x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{7y-2}{17}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow7y-2=17a,\quad a\in\mathbb{Z}$$ $$7y=17a+2$$ $$y=\frac{17a+2}{7}=2a+\frac{3a+2}{7}$$ $$y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{3a+2}{7}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow3a+2=7b,\quad b\in\mathbb{Z}$$ $$3a=7b-2$$ $$a=\frac{7b-2}{3}=2b+\frac{b-2}{3}$$ $$a\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{b-2}{3}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow b-2=3c,\quad c\in\mathbb{Z}$$ $$\begin{aligned} b&=3c+2\\ a&=7c+4\\ y&=17c+10\\ x&=24c+14\\ n&=408c+243 \end{aligned}$$

Kako je $10000=408\cdot24+208$, onda je $c=24$ pa je $n=10035$.