1. Zadatak

Neka je to četveroznamenkasti broj $\overline{abcd}$.

Vrijedi

$$\overline{abcd}:\overline{cd}=81\Rightarrow\overline{abcd}=81\overline{cd}$$ $$1000a+100b+10c+d=81(10c+d)$$ $$1000a+100b=81(10c+d)-10c-d$$ $$1000a+100b=80(10c+d)\quad/\cdot\frac1{20}$$ $$50a+5b=4(10c+d)$$ $$5(10a+b)=4(10c+d)$$ $$5\overline{ab}=4\overline{cd}.$$

Slično

$$\overline{dcba}:\overline{ba}=225\Rightarrow\overline{dcba}=225\overline{ba}$$ $$1000d+100c+10b+a=225(10b+a)$$ $$1000d+100c=225(10b+a)-10b-a$$ $$1000d+100c=224(10b+a)\quad/\cdot\frac14$$ $$250d+25c=56(10b+a)$$ $$25(10d+c)=56(10b+a)$$ $$25\overline{dc}=56\overline{ba}.$$

Kako je $25\overline{dc}$ djeljivo s 5, onda je i $56\overline{ba}$ djeljivo s 5 odnosno $\overline{ba}$ je djeljiv s 5 što znači da je $a\in\{0,5\}$. No, $a$ je znamenka tisućica traženog broja pa ne može biti 0. Dakle, $a=5$.

Budući da je $25\overline{dc}$ djeljivo s 25, onda je i $56\overline{ba}$ djeljivo s 25 odnosno $\overline{ba}$ je djeljiv s 25 što znači da je $b\in\{2,7\}$.

Iz $5\overline{ab}=4\overline{cd}$ slijedi da je $5\overline{ab}$ djeljivo s 4 odnosno $\overline{ab}$ je djeljiv s 4 pa je $b=2$.

Dalje je $4\overline{cd}=5\overline{ab}=5\cdot52=260$ pa je $\overline{cd}=260:4=65$. Analogno, iz $25\overline{dc}=56\overline{ba}$ slijedi $\overline{cd}=65$. Traženi broj je 5265.