4. Zadatak

Rješenje 1:

Neka je $\overline{abc}$ traženi broj. Prema uvjetu zadatka je

$$\overline{abc}=3(a+b+c)^2.$$

Broj $\overline{abc}$ djeljiv je s $3$ ako je zbroj njegovih znamenaka djeljiv s $3$, tj. $a+b+c=3n$, $n\in\mathbb{N}$ pa je

$$3\cdot(a+b+c)^2=3\cdot(3n)^2=27n^2.$$

$\overline{abc}=27n^2$ je troznamenkast za $n\in\{2,3,4,5,6\}$, tj. $\overline{abc}\in\{108,243,432,675,972\}$.

Provjerimo za koje brojeve vrijedi uvjet zadatka.

$$\begin{aligned} 3\cdot(1+0+8)^2&=3\cdot81=243\neq108\\ 3\cdot(2+4+3)^2&=3\cdot81=243=243\\ 3\cdot(4+3+2)^2&=3\cdot81=243\neq432\\ 3\cdot(6+7+5)^2&=3\cdot324=972\neq108\\ 3\cdot(9+7+2)^2&=3\cdot324=972=972. \end{aligned}$$

Uvjete zadatka ispunjavaju brojevi $243$ i $972$, pa je traženi zbroj $243+972=1215$.

Rješenje 2:

Neka je $\overline{abc}$ traženi broj. Prema uvjetu zadatka je

$$\overline{abc}=3(a+b+c)^2.$$

Za prirodan broj $x$, broj $3x^2$ je troznamenkast ako i samo ako je $x\in\{6,7,8,\ldots,18\}$.

Odredimo brojeve $\overline{abc}=3x^2$ te zbrojeve njihovih znamenaka za sve $x\in\{6,7,8,\ldots,18\}$.

Uvjet zadatka zadovoljavaju oni brojevi $\overline{abc}$ za koje vrijedi: $a+b+c=x$.

$x$	$\overline{abc}$	$a+b+c$
$6$	$108$	$9$
$7$	$147$	$12$
$8$	$192$	$12$
$9$	$243$	$9$
$10$	$300$	$3$
$11$	$363$	$12$
$12$	$432$	$9$
$13$	$507$	$12$
$14$	$588$	$21$
$15$	$675$	$18$
$16$	$768$	$21$
$17$	$867$	$21$
$18$	$972$	$18$

Uvjete zadatka ispunjavaju brojevi $243$ i $972$, pa je traženi zbroj $243+972=1215$.