1. Zadatak

Prvi način:

Izračunajmo Gaussovom dosjetkom zbroj u brojniku prvog razlomka:

$$2+4+6+\dots+2018=2\cdot(1+2+3+\dots+1009)=2\cdot\frac{1010\cdot1009}{2}=1010\cdot1009.$$

Koristeći ovaj prethodni račun možemo izračunati zbroj u nazivniku prvog razlomka:

$$1+3+5+\dots+2017=(1+2+3+\dots+2018)-(2+4+6+\dots+2018)=\frac{2018\cdot2019}{2}-1010\cdot1009=$$ $$=1009\cdot2019-1009\cdot1010=1009\cdot(2019-1010)=1009\cdot1009.$$

Uvrštavanjem u početnu jednadžbu dobit ćemo:

$$\frac{1010\cdot1009}{1009\cdot1009}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2018}$$ $$\frac{1}{x}=\frac{1010}{1009}-\frac{1}{2018}$$ $$\frac{1}{x}=\frac{2020-1}{2018}$$ $$\frac{1}{x}=\frac{2019}{2018}$$ $$x=\frac{2018}{2019}$$

Drugi način:

Izračunajmo Gaussovom dosjetkom zbroj u brojniku prvog razlomka.

$$2+4+6+\dots+2018=\frac{2020\cdot1009}{2}=1010\cdot1009.$$

Isto tako, Gaussovom dosjetkom izračunajmo zbroj u nazivniku prvog razlomka.

$$1+3+5+\dots+2017=\frac{2018\cdot1009}{2}=1009\cdot1009.$$

Dalje je sve isto kao u prvom načinu rješavanja.