4. Zadatak

$$\overline{abc}+2\cdot\overline{cba}=100a+10b+c+2\cdot(100c+10b+a)=$$ $$=100a+10b+c+200c+20b+2a=102a+30b+201c.$$

Kako je $102=17\cdot6$, $102a$ je djeljivo sa 17, pa mora biti i $30b+201c$ djeljivo sa 17.

$$30b+201c=34b-4b+204c-3c=34b+204c-4b-3c=17(2b+12c)-(4b+3c).$$

Kako je $17\cdot(2b+12c)$ djeljivo sa 17, mora biti i $4b+3c$ djeljivo sa 17.

Vrijedi $0<4b+3c\le63$ jer su $b$ i $c$ znamenke, $c\ne0$, pa je najveća moguća vrijednost izraza jednaka $4\cdot9+3\cdot9=63$.

Stoga imamo 3 moguća slučaja:

1. slučaj:

$$4b+3c=17$$

Jedino rješenje ovog slučaja je $b=2$ i $c=3$, pa su traženi brojevi (a može biti bilo koja znamenka osim nule):

123, 223, 323, 423, 523, 623, 723, 823 i 923.

2. slučaj:

$$4b+3c=34$$

Dva su rješenja: $b=4$ i $c=6$ ili $b=7$ i $c=2$, pa su traženi brojevi (a može biti bilo koja znamenka osim nule):

146, 246, 346, 446, 546, 646, 746, 846 i 946, odnosno 172, 272, 372, 472, 572, 672, 772, 872 i 972.

3. slučaj:

$$4b+3c=51$$

Dva su rješenja: $b=6$ i $c=9$ ili $b=9$ i $c=5$, pa su traženi brojevi (a može biti bilo koja znamenka osim nule):

169, 269, 369, 469, 569, 669, 769, 869 i 969, odnosno 195, 295, 395, 495, 595, 695, 795, 895 i 995.