5. Zadatak

U trokutu $\triangle ABC$ označimo točku $D$ i dužine $\overline{AD}$, $\overline{BD}$ i $\overline{CD}$.

Duljina visine trokuta $\triangle ABD$ na $\overline{AB}$ je $m$, duljina visine trokuta $\triangle BCD$ na $\overline{BC}$ je $n$, a duljina visine trokuta $\triangle ACD$ na $\overline{AC}$ je $p$, pa je:

$$P_{\triangle ABD}=\frac{cm}{2},\qquad P_{\triangle BCD}=\frac{an}{2}\quad\text{i}\quad P_{\triangle ACD}=\frac{bp}{2}.$$

Dalje možemo na dva načina:

Prvi način:

Kako je $P_{\triangle ABD}+P_{\triangle BCD}+P_{\triangle ACD}=P_{\triangle ABC}$, vrijedi:

$$\frac{cm}{2}+\frac{an}{2}+\frac{bp}{2}=\frac{cv_c}{2},$$

odnosno

$$cm+an+bp=cv_c.$$

Podijelimo li dobivenu jednakost s $cv_c$ dobit ćemo:

$$\frac{cm}{cv_c}+\frac{an}{cv_c}+\frac{bp}{cv_c}=1,$$

odnosno

$$\frac{m}{v_c}+\frac{an}{cv_c}+\frac{bp}{cv_c}=1.$$

Kako je

$$P_{\triangle ABC}=\frac{av_a}{2}=\frac{bv_b}{2}=\frac{cv_c}{2},$$

vrijedi $av_a=bv_b=cv_c$.

Sada je

$$\frac{m}{v_c}+\frac{an}{av_a}+\frac{bp}{bv_b}=1,$$

odnosno

$$\frac{m}{v_c}+\frac{n}{v_a}+\frac{p}{v_b}=1.$$

Drugi način:

Kako je $P_{\triangle ABD}+P_{\triangle BCD}+P_{\triangle ACD}=P_{\triangle ABC}$, vrijedi

$$\frac{cm}{2}+\frac{an}{2}+\frac{bp}{2}=P_{\triangle ABC},$$

odnosno

$$c\cdot\frac{m}{2}+a\cdot\frac{n}{2}+b\cdot\frac{p}{2}=P_{\triangle ABC}.$$

Neka je $P=P_{\triangle ABC}$.

Iz $P=\frac{av_a}{2}$ slijedi da je $a=\frac{2P}{v_a}$,

iz $P=\frac{bv_b}{2}$ slijedi da je $b=\frac{2P}{v_b}$,

iz $P=\frac{cv_c}{2}$ slijedi da je $c=\frac{2P}{v_c}$.

Izraze za $a$, $b$ i $c$ uvrstimo u $c\cdot\frac{m}{2}+a\cdot\frac{n}{2}+b\cdot\frac{p}{2}=P$:

$$\frac{2P}{v_c}\cdot\frac{m}{2}+\frac{2P}{v_a}\cdot\frac{n}{2}+\frac{2P}{v_b}\cdot\frac{p}{2}=P,$$

odnosno

$$\frac{P}{v_c}\cdot\frac{m}{1}+\frac{P}{v_a}\cdot\frac{n}{1}+\frac{P}{v_b}\cdot\frac{p}{1}=P.$$

Podijelimo li izraz s $P$, dobit ćemo

$$\frac{m}{v_c}+\frac{n}{v_a}+\frac{p}{v_b}=1.$$