4. Zadatak

Neka je osnosimetrična slika trokuta $\triangle ABC$ obzirom na pravac $AC$ trokut $\triangle ACD$. Kako je $|AB|=|BC|$ i $\overline{AB}\perp\overline{BC}$, onda je trokut $\triangle ABC$ jednakokračan pravokutan pa je i trokut $\triangle ACD$ jednakokračan pravokutan. Tada je očito četverokut $ABCD$ kvadrat. Kako su $K$ i $L$ polovišta dužina $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$, onda su njihove osnosimetrične slike $K'$ i $L'$ polovišta dužina $\overline{AD}$ i $\overline{CD}$.

Očito su trokuti $\triangle KBL$ i $\triangle K'L'D$ jednakokračni pravokutni. Neka je $P$ površina lika $AKLCL'K'$. Tada je $P_{\triangle KBL}=\frac{\frac a2\cdot\frac a2}{2}=\frac{a\cdot a}{8}$, $P_{\square ABCD}=a\cdot a$ i $P_{\triangle K'L'D}=\frac{\frac a2\cdot\frac a2}{2}=\frac{a\cdot a}{8}$. Lako se uoči da je $P=P_{\square ABCD}-P_{\triangle KBL}-P_{\triangle K'L'D}$ pa vrijedi

$$P=a\cdot a-\frac{a\cdot a}{8}-\frac{a\cdot a}{8}=\frac68a\cdot a=\frac34a\cdot a.$$

Dakle, površina lika $AKLCL'K'$ je $\frac34\cdot a\cdot a$.