6. Zadatak

Kvadrat, pravokutnik i trokut imaju jednake opsege. Duljine stranica trokuta u centimetrima su tri uzastopna prirodna broja, a duljine susjednih stranica pravokutnika se razlikuju za 2 cm. Odredi duljine stranica zadanih likova ako su duljine stranica svih likova izražene prirodnim brojevima u centimetrima i ako duljina niti jedne stranice niti jednog od likova nije veća od 15 cm. Ispitaj sve mogućnosti.

Prvi način:

Ako su stranice kvadrata duljine $a$ cm, onda je opseg jednak $4\cdot a$ .

Duljine stranica trokuta uzastopni su brojevi, npr. $b$ , $b+1$ i $b+2$ te je onda opseg $3\cdot b+3=3\cdot(b+1)$ .

Duljine susjednih stranica pravokutnika razlikuju se za 2 cm pa su njihove duljine $c$ i $c+2$ , a opseg je $4\cdot c+4$ .

Budući da su opsezi jednaki, vrijedi $4\cdot a=3\cdot(b+1)$ što znači da je $a$ višekratnik od 3.

Ispituju se slučajevi: $a=3,6,9,12,\ldots$

Za $a=3$ cm je $O=4\cdot3=12$ cm te je $3\cdot(b+1)=12$ odnosno $b=3$ cm i $4\cdot c+4=12$ odnosno $c=2$ cm.

Duljine stranica trokuta su 3 cm, 4 cm i 5 cm, a duljine susjednih stranica pravokutnika su 2 cm i 4 cm.

Za $a=6$ cm je $O=4\cdot6=24$ cm te je $3\cdot(b+1)=24$ odnosno $b=7$ cm i $4\cdot c+4=24$ odnosno $c=5$ cm.

Duljine stranica trokuta su 7 cm, 8 cm i 9 cm, a duljine susjednih stranica pravokutnika su 5 cm i 7 cm.

Za $a=9$ cm je $O=4\cdot9=36$ cm te je $3\cdot(b+1)=36$ odnosno $b=11$ cm i $4\cdot c+4=36$ odnosno $c=8$ cm.

Duljine stranica trokuta su 11 cm, 12 cm i 13 cm, a duljine susjednih stranica pravokutnika su 8 cm i 10 cm.

Za $a=12$ cm je $O=4\cdot12=48$ cm te je $3\cdot(b+1)=48$ odnosno $b=15$ cm. Tada bi $b+1=16$ cm bilo veće od 15 cm što nije moguće, a isto tako niti za još veće višekratnike broja 3.

Drugi način:

Kako su duljine stranica trokuta tri uzastopna prirodna broja, ispitujemo moguće slučajeve.

Za 1 cm, 2 cm, 3 cm ne dobije se trokut.

Za 2 cm, 3 cm, 4 cm opseg bi bio 9 cm što nije djeljivo s 4.

Za 3 cm, 4 cm, 5 cm opseg bi bio 12 cm pa bi stranice kvadrata bile duljine 3 cm. Tada je zbroj duljina susjednih stranica pravokutnika 6 cm, a duljine susjednih stranica pravokutnika su 2 cm i 4 cm.

Za 4 cm, 5 cm, 6 cm opseg bi bio 15 cm što nije djeljivo s 4.

Za 5 cm, 6 cm, 7 cm opseg bi bio 18 cm što nije djeljivo s 4.

Za 6 cm, 7 cm, 8 cm opseg bi bio 21 cm što nije djeljivo s 4.

Za 7 cm, 8 cm, 9 cm opseg bi bio 24 cm pa bi stranice kvadrata bile duljine 6 cm. Tada je zbroj duljina susjednih stranica pravokutnika 12 cm, a duljine susjednih stranica pravokutnika su 5 cm i 7 cm.

Za 8 cm, 9 cm, 10 cm opseg bi bio 27 cm što nije djeljivo s 4.

Za 9 cm, 10 cm, 11 cm opseg bi bio 30 cm što nije djeljivo s 4.

Za 10 cm, 11 cm, 12 cm opseg bi bio 33 cm što nije djeljivo s 4.

Za 11 cm, 12 cm, 13 cm opseg bi bio 36 cm pa bi stranice kvadrata bile duljine 9 cm. Tada je zbroj duljina susjednih stranica pravokutnika 18 cm, a duljine susjednih stranica pravokutnika su 8 cm i 10 cm.

Za 12 cm, 13 cm, 14 cm opseg bi bio 39 cm što nije djeljivo s 4.

Za 13 cm, 14 cm, 15 cm opseg bi bio 42 cm što nije djeljivo s 4.

Za 14 cm, 15 cm, 16 cm bi stranica imala duljinu veću od dopuštenih 15 cm.