7. Zadatak

Bruno je kao šifru za otključavanje svog mobitela postavio parni četveroznamenkasti broj. Kako ne bi zaboravio koji je to broj, zapisao je sljedeće:

Sve znamenke su različite, a zbroj svih znamenaka je 15.
Znamenka jedinice tri je puta manja od znamenke tisućice.
Znamenka desetica manja je od znamenke jedinice.

Odredi šifru koju je Bruno postavio za otključavanje svog mobitela.

Prvi način:

Ako su $a$ , $b$ , $c$ i $d$ redom različite znamenke tisućica, stotica, desetica i jedinica traženog četveroznamenkastog broja $\overline{abcd}$ imamo:

a+b+c+d=15.

Kako traženi broj mora biti paran, znamenka jedinica može biti 0, 2, 4, 6 ili 8.

Znamenka jedinica je tri puta manja od znamenke tisućice odnosno znamenka tisućica je tri puta veća od znamenke jedinice.

Ako je $d=0$ , onda je $a=3\cdot0=0$ , što je nemoguće jer je broj četveroznamenkast.

Ako je $d=2$ , onda je $a=3\cdot2=6$ .

Ako je $d=4$ , onda je $a=12$ , što je nemoguće jer je $a$ znamenka, a isto vrijedi za $d=6$ ili $8$ .

Kako je $d=2$ i $a=6$ , a znamenka desetica je manja od znamenke jedinica, tj. $c<d$ , zaključujemo da je $c=0$ ili $c=1$ .

Sad imamo dva slučaja:

Ako je $c=0$ , onda je $b=15-6-0-2=7$ , pa je traženi broj 6702.
Ako je $c=1$ , onda je $b=15-6-1-2=6$ , što je nemoguće jer znamenke broja moraju biti različite.

Drugi način:

Iz drugog uvjeta slijedi da znamenke tisućica i jedinica mogu biti parovi 9 i 3, 6 i 2 te 3 i 1,

ali zbog tvrdnje da se radi o parnom broju proizlazi da je znamenka tisućica 6, a znamenka jedinica 2.

Nadalje, zbog trećeg uvjeta, znamenka desetica može biti 0 ili 1.

Kako znamenke moraju biti različite, traženi brojevi mogu biti:

6102, 6302, 6402, 6502, 6702, 6802, 6902,
6012, 6312, 6412, 6512, 6712, 6812, 6912.

No, iz uvjeta da zbroj znamenaka mora biti 15, slijedi da je samo $6+7+0+2=15$ .

Brunina šifra za mobitel je 6702.

Treći način:

Iz drugog uvjeta slijedi da znamenke tisućica i jedinica mogu biti parovi 9 i 3, 6 i 2 te 3 i 1,

ali zbog tvrdnje da se radi o parnom broju proizlazi da je znamenka tisućica 6, a znamenka jedinica 2.

Nadalje, zbog trećeg uvjeta, znamenka desetica može biti 0 ili 1.

Ako je znamenka desetica 0, zbog uvjeta o zbroju znamenaka znamenka stotica je 7, pa je rješenje 6702.

Ako je znamenka desetica 1, zbog uvjeta o zbroju znamenaka znamenka stotica je 6, pa je rješenje 6612, no to ne može biti tražena šifra jer znamenke moraju biti različite.

Brunina šifra za mobitel je 6702.