1. Zadatak
Na šahovskom turniru sudjelovalo je 10 igrača. Svaki je igrač igrao sa svakim od preostalih igrača po jednu partiju.
a) Koliko je svaki pojedini igrač odigrao partija?
b) Koliko je ukupno partija šaha odigrano na tom turniru?
Objasni odgovore.
a) Prvi način:
Označimo igrače brojevima od 1 do 10. Ispišimo mogućnosti za jednog od igrača (jer izbor igrača ne utječe na rezultat), primjerice za igrača broj 1:
1 i 2, 1 i 3, 1 i 4, 1 i 5, 1 i 6, 1 i 7, 1 i 8, 1 i 9, 1 i 10.
S obzirom na to da je svejedno kojeg smo igrača promatrali, zaključujemo da će svaki igrač odigrati 9 partija.
Drugi način:
Kako svaki igrač mora odigrati sa svakim, promotrimo jednog od igrača, primjerice prvog.
Prvi igrač mora odigrati partije sa svakim od preostalih 9 igrača, dakle odigrat će 9 partija.
S obzirom na to da je svejedno kojeg smo igrača promatrali, zaključujemo da će svaki igrač odigrati 9 partija.
Treći način:
Prikažimo grafički sve partije koje je odigrao jedan igrač, pri čemu svakog od igrača označimo točkom.
Ukupan broj partija jednak je ukupnom broju dužina kojima smo spojili jednu točku (igrača) s preostalim točkama (igračima), tj. zaključujemo da će svaki igrač odigrati 9 partija.
b) Prvi način:
Zapišimo sve moguće partije koje će odigrati igrači na turniru pazeći da partije koje igraju isti igrači ne brojimo dva puta:
1 i 2, 1 i 3, 1 i 4, 1 i 5, 1 i 6, 1 i 7, 1 i 8, 1 i 9, 1 i 10 9 partija
2 i 3, 2 i 4, 2 i 5, 2 i 6, 2 i 7, 2 i 8, 2 i 9, 2 i 10 8 partija
3 i 4, 3 i 5, 3 i 6, 3 i 7, 3 i 8, 3 i 9, 3 i 10 7 partija
4 i 5, 4 i 6, 4 i 7, 4 i 8, 4 i 9, 4 i 10 6 partija
5 i 6, 5 i 7, 5 i 8, 5 i 9, 5 i 10 5 partija
6 i 7, 6 i 8, 6 i 9, 6 i 10 4 partije
7 i 8, 7 i 9, 7 i 10 3 partije
8 i 9, 8 i 10 2 partije
9 i 10 1 partija
Ukupno je odigrano partija.
Drugi način:
Zbrojimo redom sve partije koje su odigrali igrači počevši od prvog.
Prvi igrač je odigrao 9 partija.
Drugi igrač je odigrao također 9 partija no već smo brojali njegovu partiju s prvim igračem pa dodajemo novih 8 partija.
Treći igrač je odigrao također 9 partija no već smo brojali njegove partije s prvim i drugim igračem pa dodajemo novih 7 partija.
Dalje zaključujemo da od četvrtog igrača trebamo dodati novih 6 partija, od petog igrača novih 5 partija, od šestog igrača nove 4 partije, od sedmog igrača nove 3 partije, od osmog igrača nove 2 partije, od devetog još 1 partiju i to onu s desetim igračem.
Ukupno je odigrano partija.
Treći način:
Prikažimo grafički sve partije koje su odigrali igrači. Za pregledniji grafički prikaz neka svaki od igrača bude jedna točka, a točke označimo brojevima od 1 do 10. Tada je broj partija jednak broju nacrtanih dužina, kojima su rubne točke igrači.
Prvi igrač je odigrao 9 partija.
Drugi je igrač odigrao 9 partija, no onu s prvim igračem već smo brojali pa dobijemo još 8 novih:
Treći je igrač odigrao 9 partija, no onu s prvim i drugim igračem već smo brojali pa dobijemo još 7 novih:
Analognim postupcima zaključujemo da od četvrtog igrača trebamo dodati novih 6 partija, od petog igrača novih 5 partija, od šestog igrača nove 4 partije, od sedmog igrača nove 3 partije, od osmog igrača nove 2 partije, od devetog još 1 partiju i to onu s desetim igračem.
Ukupno je odigrano partija.
Četvrti način:
Moguće je i grafičko rješenje kao na slici.
Iz slike vidimo da je prvi igrač odigrao 9 partija, drugi 8 koje još nismo brojali, treći 7 koje još nismo brojali, četvrti 6 koje još nismo brojali, peti 5 koje još nismo brojali, šesti 4 koje još nismo brojali, sedmi 3 koje još nismo brojali, osmi 2 koje još nismo brojali i deveti još jednu s desetim igračem koju još nismo brojali.
Ukupno je odigrano partija.