5. Zadatak

U nekoj osnovnoj školi 94 učenika polaze šesti razred. Neki su učenici uključeni u izvannastolske aktivnosti: engleski i njemački jezik te sportske klubove. Izvannastolski engleski jezik pohađa 40 učenika, njemački jezik pohađa 27 učenika, a sportskim se aktivnostima bavi 60 učenika. Od učenika uključenih u sportske aktivnosti njih 24 ide i na engleski jezik. Deset učenika koji idu na engleski jezik ide i na njemački jezik. Dvanaest učenika koji idu na njemački jezik bavi se i sportskim aktivnostima. U sve tri izvannastolske aktivnosti uključena su 4 učenika. Koliko se učenika bavi samo jednom od ovih izvannastolskih aktivnosti, a koliko ih se ne bavi niti jednom od njih?

Prvi način:

Na engleski jezik ide ukupno 40 učenika. Od njih 40, 24 učenika se bavi i nekom sportskom aktivnošću, 10 učenika ide i na njemački jezik, a 4 učenika su uključena u sve tri aktivnosti.

Samo engleskim jezikom se bave $40-24-10+4=10$ učenika.

Analognim zaključivanjem dolazimo do broja učenika koji su uključeni

samo na njemački jezik: $27-12-10+4=9$ ,
samo u sportske aktivnosti: $60-24-12+4=28$ .

Samo jednom aktivnosti se bavi $10+9+28=47$ učenika.

Nekom od ovih aktivnosti bavi se $40+28+9+(12-4)=40+28+9+8=85$ učenika.

Nijednom od ovih aktivnosti ne bavi se $94-(40+9+28+8)=94-85=9$ učenika.

Drugi način:

Učenike šestog razreda dijelimo u tri skupine (koje imaju zajedničkih članova) pri čemu postoje i učenici koji ne pripadaju ni jednoj od tih skupina. Prikažimo te skupine grafički, krugovima koji imaju zajedničkih dijelova. U središnji dio, zajednički svim trima krugovima, upisujemo broj 4 jer se toliko učenika bavi sa sve tri aktivnosti.

Početni Vennov dijagram

Uz oznake kao na slici i uz uvjete zadatka redom vrijedi:

x+4=10,\quad\text{tj.}\quad x=6

y+4=24,\quad\text{tj.}\quad y=20

z+4=12,\quad\text{tj.}\quad z=8

Djelomično ispunjeni Vennov dijagram

Uz oznake kao na slici i uz uvjete zadatka dalje vrijedi:

e+6+4+20=40,\quad\text{tj.}\quad e=10

n+6+4+8=27,\quad\text{tj.}\quad n=9

s+20+4+8=60,\quad\text{tj.}\quad s=28

Ispunjeni Vennov dijagram

Samo jednom aktivnošću bavi se $10+9+28=47$ učenika.

Nekom od ovih aktivnosti bavi se $10+20+4+6+9+8+28=85$ učenika.

Niti jednom od ovih aktivnosti ne bavi se $94-85=9$ učenika.

Treći način:

Neka je $E$ skup svih učenika koji uče engleski jezik, $N$ skup svih učenika koji uče njemački jezik, a $S$ skup svih učenika koji se bave sportom.

Pri tome vrijedi $k(E)=40$ , $k(N)=27$ , $k(S)=60$ ,

k(E\cap S)=24,\quad k(E\cap N)=10\quad\text{i}\quad k(N\cap S)=12

k(E\cap N\cap S)=4.

Tada vrijedi formula uključivanja i isključivanja:

k(E\cup N\cup S)=k(E)+k(N)+k(S)-(k(E\cap N)+k(E\cap S)+k(N\cap S))+k(E\cap N\cap S)

Uvrštavanjem i računanjem redom dobivamo:

k(E\cup N\cup S)=40+27+60-(10+24+12)+4=127-46+4=85

Nekom od ovih aktivnosti bavi se 85 učenika, a niti jednom se ne bavi $94-85=9$ učenika.

Samo engleski uči $40-(24+10)+4=10$ učenika,

samo njemački uči $27-(10+12)+4=9$ učenika,

samo sportom bavi se $60-(24+12)+4=28$ učenika.

Dakle, samo jednom od aktivnosti bavi se $10+9+28=47$ učenika.