5. Zadatak

Trokut ABC je jednakokračan trokut s osnovicom $\overline{BC}$ pa vrijedi da je $|AB|=|AC|$ i $|\angle CBA|=|\angle ACB|$ odnosno $|\angle DBA|=|\angle ACE|$. Budući je iz uvjeta zadatka $|BD|=|EC|=y$, prema poučku S-K-S o sukladnosti zaključujemo da su trokuti ABD i ACE sukladni.

Posljedica te sukladnosti jest da je $|AD|=|AE|$.

Budući da u trokutu nasuprot stranica jednakih duljina leže sukladni kutovi, može se zaključiti da u trokutu ADE vrijedi $|\angle EDA|=|\angle AED|$.

Nadalje, za kutove trokuta ADE vrijedi $$|\angle EDA|+|\angle AED|+60^\circ=180^\circ \Rightarrow|\angle EDA|+|\angle AED|=120^\circ \Rightarrow|\angle EDA|=|\angle AED|=60^\circ$$ što znači da je trokut ADE jednakostraničan.

Označimo duljinu stranice trokuta ADE s x. Opseg tog trokuta je 15 cm pa slijedi da je $3\cdot x=15$ odnosno $x=5\ \mathrm{cm}$.

Za zbroj opsega trokuta ABD i trokuta AEC vrijedi $$2x+2y+2b=30\Rightarrow2y+2b=30-2\cdot5=20\ \mathrm{cm}.$$

Traženi opseg trokuta ABC jednak je $x+2y+2b=5+2y+2b=5+20=25\ \mathrm{cm}$.