3. Zadatak

Neka je b znamenka koja se ponavlja u zadanom zbroju.

Iz uvjeta zadatka vrijedi da je

$$a+2\cdot a+3\cdot a+\ldots+9\cdot a=\overline{bbbb\ldots b}.$$ $$a+2\cdot a+3\cdot a+\ldots+9\cdot a=a\cdot(1+2+3+\ldots+9)=45\cdot a$$

odnosno vrijedi

$$45\cdot a=\overline{bbbb\ldots b}.$$

Dakle, $\overline{bbbb\ldots b}$ mora biti djeljiv s 45, tj. s 5 i s 9.

Iz djeljivosti s 5 slijedi da znamenka b mora biti 5.

Iz djeljivosti s 9 i zahtjeva da se odredi najmanji broj slijedi da je $\overline{bbbb\ldots b}=555\,555\,555$.

Na kraju je najmanji prirodan broj a za koji vrijedi tvrdnja $a=555\,555\,555:45=12\,345\,679$.