5. Zadatak

Neka je $ABC$ jednakokračan pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu $C$ te neka je $MNKL$ pravokutnik upisan trokutu $ABC$ kojem vrhovi $M$ i $N$ pripadaju hipotenuzi.

Trokut $ABC$ je jednakokračan pravokutan pa je $|\angle BAC|=|\angle CBA|=45^\circ$.

U pravokutnim trokutima $AML$ i $NBK$ vrijedi $|\angle ALM|=|\angle NKB|=90^\circ-45^\circ=45^\circ$.

Slijedi da su trokuti $KNB$ i $AML$ jednakokračni pravokutni tj.

$$|NK|=|NB|=|ML|=|MA|=0.4x.$$

1. slučaj: Neka je $|MN|>|NK|$ pa označimo $|MN|=x$, $|NK|=0.4x$.

Kako je $|AM|+|MN|+|NB|=|AB|$, vrijedi $0.4x+x+0.4x=45$ pa je $1.8x=45$ i $x=|MN|=25$ cm, a $|NK|=0.4\cdot25=10$ cm.

2. slučaj: Neka je $|MN|<|NK|$ pa označimo $|MN|=0.4x$, a $|NK|=x$.

Analognim zaključivanjem dobijemo $x+0.4x+x=45$ pa je $2.4x=45$ i $x=|NK|=18.75$ cm, a $|MN|=0.4\cdot18.75=7.5$ cm.