4. Zadatak

Prvi način:

Neka je $x$ početna duljina čarobnog saga.

Početna širina saga bila je $1.8\ \mathrm{m}=18\ \mathrm{dm}$.

Nakon ispunjenja prve želje stranice su mu bile:

$$\text{duljina }\frac{1}{2}x,\qquad \text{a širina }18-\frac{1}{3}\cdot18=18-6=12\ \mathrm{dm}.$$

Nakon ispunjenja druge želje stranice su mu bile:

$$\text{duljina }\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x,\qquad \text{a širina }12-\frac{1}{3}\cdot12=12-4=8\ \mathrm{dm}.$$

Nakon ispunjenja treće želje stranice su mu bile:

$$\text{duljina }\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}x,\qquad \text{a širina }8-\frac{1}{3}\cdot8=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\ \mathrm{dm}.$$

Površina pravokutnika računa se po formuli $P=a\cdot b$, gdje su $a$ i $b$ duljine susjednih stranica. Iz uvjeta zadatka slijedi da je

$$\frac{1}{8}x\cdot\frac{16}{3}=18,$$

odnosno $\frac{2}{3}x=18$, pa slijedi $x=27\ \mathrm{dm}=2.7\ \mathrm{m}$.

Početna površina čarobnog saga bila je $P=1.8\ \mathrm{m}\cdot2.7\ \mathrm{m}=4.86\ \mathrm{m}^2$.

Drugi način:

Površina pravokutnika računa se po formuli $P=a\cdot b$, gdje su $a$ i $b$ duljine susjednih stranica.

Neka je $x$ početna duljina saga, a $y$ početna širina saga.

Nakon ispunjenja svake želje duljina saga se prepolovi.

Nakon ispunjenja tri želje duljina saga se 3 puta prepolovi, pa je jednaka

$$a=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}x.$$

Nakon ispunjenja svake želje širina saga se umanji za $\frac{1}{3}$ širine, što znači da preostane $\frac{2}{3}$ širine.

Nakon ispunjenja tri želje širina saga je

$$b=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}y=\frac{8}{27}y.$$

Površina saga nakon tri ispunjene želje jednaka je

$$P_3=\frac{1}{8}x\cdot\frac{8}{27}y=\frac{1}{27}xy.$$

Prema uvjetima zadatka je $P_3=18\ \mathrm{dm}^2$, a $y=1.8\ \mathrm{m}=18\ \mathrm{dm}$.

Slijedi

$$18=\frac{1}{27}x\cdot18,$$

što daje $x=27\ \mathrm{dm}=2.7\ \mathrm{m}$.

Početna površina čarobnog saga bila je $P=1.8\ \mathrm{m}\cdot2.7\ \mathrm{m}=4.86\ \mathrm{m}^2$.

Napomena: Duljina i površina saga mogu se izraziti i u decimetrima, odnosno $\mathrm{dm}^2$.