2. Zadatak

Trokut $ABC$ ima mjere kutova $\angle CAB=60^\circ$ , $\angle ABC=45^\circ$ . Trokuti $ABC$ i $CDE$ su sukladni. Mjera kuta $\angle DCA=30^\circ$ . Dokaži da je trokut $CFG$ jednakokračan.

Zadatak s geometrijskim crtežom

Rješenje

Prvi način:

Geometrijski crtež prvog načina

Kut $\angle AMD$ je pravi kut, tj. $\angle AMD=90^\circ$ .

Nacrtajmo okomicu $CN$ iz vrha $C$ na stranicu $DE$ .

Veličina kuta $\angle NCM$ iznosi $\angle NCM=30^\circ$ (slijedi iz $\triangle DNC$ , jer je $\angle CDE=60^\circ$ ).

Veličina kuta $\angle GCN$ iznosi $\angle GCN=45^\circ-30^\circ=15^\circ$ (slijedi iz $\triangle BMC$ , $\angle BCM=45^\circ$ ).

Veličina kuta $\angle FGC$ iznosi $\angle FGC=90^\circ-15^\circ=75^\circ$ .

Veličina kuta $\angle CGE$ iznosi $\angle CGE=180^\circ-75^\circ=105^\circ=\angle BGF$ .

Veličina kuta $\angle GFB$ iznosi $\angle GFB=180^\circ-(105^\circ+45^\circ)=30^\circ$ .

Veličina kuta $\angle MFN$ iznosi $\angle MFN=180^\circ-30^\circ=150^\circ$ .

Trokuti $AMC$ i $DNC$ su sukladni (KSK ili SSK $>$ ), pa je $MC=NC$ .

Trokuti $MFC$ i $FNC$ su sukladni pravokutni trokuti (oba imaju pravi kut, zajednička im je hipotenuza i $MC=NC$ , pa su sukladni po poučku SSK $>$ ).

Stoga veličina kuta $\angle CFG$ iznosi $\angle CFG=150^\circ:2=75^\circ$ .

Nasuprot sukladnih kutova $\angle FGC$ i $\angle CFG$ su sukladne stranice, odnosno $CF=CG$ , pa je trokut $CFG$ jednakokračan.

Drugi način:

Kut $\angle AMD$ ( $\angle AMC$ ) je pravi kut, tj. $\angle AMD=90^\circ$ .

Nacrtajmo okomicu $CN$ iz vrha $C$ na stranicu $DE$ .

Trokuti $ABC$ i $CDE$ su sukladni pa imaju jednake površine, dužine $CN$ i $CM$ su visine na sukladne stranice pa su njihove duljine jednake, odnosno $MC=NC$ .

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi i $\angle CED=\angle ACB=180^\circ-105^\circ=75^\circ$ .

Trokuti $MFC$ i $FNC$ su sukladni pravokutni trokuti (oba imaju pravi kut, zajednička im je hipotenuza i $MC=NC$ , pa su sukladni po poučku SSK $>$ ).

Veličina kuta $\angle MFD$ iznosi $\angle MFD=90^\circ-60^\circ=30^\circ=\angle GFB$ (slijedi iz pravokutnog trokuta $MFD$ ).

Kut $\angle CGN$ je vanjski kut trokuta $FGB$ pa je $\angle CGN=30^\circ+45^\circ=75^\circ$ .

Iz pravokutnog trokuta $CNG$ slijedi $\angle GCN=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ .

Veličina kuta $\angle DCN$ iznosi $\angle DCN=45^\circ-15^\circ=30^\circ$ (jer je $\angle BCM=45^\circ$ ).

Iz sukladnosti trokuta $MFC$ i $FNC$ slijedi $\angle MCF=\angle NCF=30^\circ:2=15^\circ$ .

Nadalje, trokuti $CFN$ i $CGN$ su sukladni po poučku KSK (kutovi veličina $15^\circ$ i $90^\circ$ uz zajedničku stranicu $CN$ ).

Iz njihove sukladnosti slijedi $NG=NF$ i $FC=GC$ .

Dakle, trokut $CFG$ je jednakokračan.