4. Zadatak
Tri dječaka i tri djevojčice idu u kazalište i dobili su karata u nizu u istom redu. Djevojčice žele sjediti sve tri jedna do druge, a dječacima je svejedno gdje će sjediti. Na koliko se različitih načina oni tako mogu smjestiti?
Rješenje 1:
Djevojčice nazovimo A, B i C.
One žele sjesti sve tri zajedno pa njih promatramo kao jednu cjelinu. Djevojčice se unutar svoja tri mjesta mogu smjestiti na različitih načina ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ili CBA.
To smo mogli napisati i ovako: na prvo mjesto može sjesti bilo koja od njih tri, na drugo jedna od preostale dvije i zadnja na treće mjesto. Znači da one mogu sjesti unutar svoja tri mjesta na načina.
Dječake nazovimo D, E i F.
Ako su djevojčice smještene na prva tri mjesta na bilo koji od gore opisanih načina, tada su dječaci smješteni na zadnja tri mjesta. Njih možemo na ta tri mjesta smjestiti opet na načina, DEF, DFE, EDF, EFD, FDE ili FED.
To je ukupno načina.
Ako su djevojčice smještene na , i mjestu na jednom od svojih načina, na prvom mjestu može biti bilo koji od tri dječaka.
Ako je na prvom mjestu dječak D, dječaci E i F na i mjestu mogu se rasporediti na dva načina EF ili FE.
Ako je na prvom mjestu dječak E, dječaci D i F na i mjestu mogu se rasporediti na dva načina DF ili FD.
Ako je na prvom mjestu dječak F, dječaci D i E na i mjestu mogu se rasporediti na dva načina DE ili ED.
To je ukupno načina.
Ako su djevojčice smještene na , i mjestu na jednom od svojih načina, na prva dva mjesta mogu biti smještena dva dječaka na načina, a na zadnjem mjestu preostali dječak.
Dječaci D i E na prva se dva mjesta mogu smjestiti na dva načina DE ili ED, a na zadnjem je mjestu tada dječak F.
Dječaci E i F se na prva dva mjesta mogu smjestiti na dva načina EF ili FE, a na zadnjem je mjestu tada dječak D.
Dječaci D i F se na prva dva mjesta mogu smjestiti na dva načina DF ili FD, a na zadnjem je mjestu tada dječak E.
To je ukupno načina.
Ako su djevojčice smještene na zadnja tri mjesta na bilo koji od gore opisanih načina, tada su dječaci smješteni na prva tri mjesta. Njih možemo na ta tri mjesta smjestiti opet na načina, DEF, DFE, EDF, EFD, FDE ili FED.
To je ukupno načina.
Ukupan broj načina na koje ih možemo smjestiti da sjede kako žele je .
Rješenje 2:
Tri djevojčice uvijek sjede zajedno pa njih promatramo kao jednu cjelinu.
Djevojčice unutar njihova tri mjesta možemo rasporediti tako da prva odabire mjesta, druga i treća sjeda na preostalo mjesto, odnosno one se mogu unutar svoja tri mjesta smjestiti na načina.
Označimo mjesta brojevima .
Tada tri djevojčice zajedno možemo smjestiti na spojena mjesta na načina ili , jednog od dječaka na preostala tri mjesta, drugog na preostala dva mjesta i zadnjeg dječaka na jedino preostalo mjesto.
To je načina.
Unutar svakog od ta načina djevojčice možemo smjestiti na načina pa je ukupan broj načina na koji možemo smjestiti djecu da sjede kako žele .