4. Zadatak

Ispiši sve peteroznamenkaste brojeve djeljive s $45$ koji su oblika $abcda$ , pri čemu je znamenka na mjestu desetica najveći jednoznamenkasti prosti broj. (Znamenke $a$ , $b$ , $c$ i $d$ su međusobno različite!)

Rješenje

Prirodan broj je djeljiv brojem $45$ ako je djeljiv brojevima $5$ i $9$ .

Broj je djeljiv brojem $5$ ako je njegova znamenka jedinica $0$ ili $5$ . No, budući da broj započinje i završava istom znamenkom, zaključujemo da znamenka $a$ mora biti jednaka $5$ .

Znamenka $d$ jednaka je $7$ pa je zbroj znamenaka traženog broja jednak

5+b+c+7+5=17+b+c.

Da bi broj bio djeljiv brojem $9$ , zbroj $17+b+c$ mora biti višekratnik broja $9$ , tj. $b+c$ može biti $1$ ili $10$ .

$b$	$0$	$1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$c$	$1$	$0$	$9$	$8$	$7$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Budući da su znamenke $a$ , $b$ , $c$ i $d$ međusobno različite, moguće kombinacije su

$b$	$0$	$1$	$1$	$2$	$4$	$6$	$8$	$9$
$c$	$1$	$0$	$9$	$8$	$6$	$4$	$2$	$1$

Traženi brojevi su: $50\,175$ , $51\,075$ , $51\,975$ , $52\,875$ , $54\,675$ , $56\,475$ , $58\,275$ i $59\,175$ .