5. Zadatak

Zbroj svih zadanih brojeva je $1+2+3+4+5+6=21$.

Iz $a+b+c=c+d+e=a+f+e$ zaključujemo da je

$$(a+b+c)+(c+d+e)+(a+f+e)=3\cdot(a+b+c).$$

U zbroju s lijeve strane brojevi $a$, $c$ i $e$ se kao pribrojnici pojavljuju dvaput (to su brojevi na vrhovima trokuta).

Zato je

$$3\cdot(a+b+c)=(a+b+c+d+e+f)+(a+c+e),$$

odnosno

$$3\cdot(a+b+c)=21+(a+c+e).$$

Zbroj brojeva na vrhovima $a+c+e$ može biti najmanje $1+2+3=6$, a najviše $4+5+6=15$.

Iz $3\cdot(a+b+c)=21+6=27$ slijedi da je najmanji zbroj $a+b+c=9$, dok iz $3\cdot(a+b+c)=21+15=36$ slijedi da je najveći zbroj $a+b+c=12$. Dakle, zbroj $a+b+c$ ne može biti manji od $9$ niti veći od $12$.

Za zbroj $a+b+c$ postoje $4$ različita rješenja ($4$ različita zbroja). To su $9$, $10$, $11$ i $12$.