6. Zadatak

Prvo rješenje.

Zadane su jednakosti

$$\begin{aligned} ab+ac&=36\\ ab+bc&=50\\ ac+bc&=56. \end{aligned}$$

Zbrajanjem prethodnih triju jednakosti dobivamo:

$$ab+ac+ab+bc+ac+bc=142$$ $$\begin{aligned} 2(ab+ac+bc)&=142\\ ab+ac+bc&=71 \end{aligned}$$

Oduzmemo li od posljednje jednakosti, redom, tri zadane jednakosti, dobivamo:

$$\begin{aligned} bc&=71-36\\ bc&=35 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} ac&=71-50\\ ac&=21 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} ab&=71-56\\ ab&=15 \end{aligned}$$

Umnožak dobivenih jednakosti

$$ab\cdot ac\cdot bc=15\cdot21\cdot35$$

jednak je

$$ab\cdot ac\cdot bc=3\cdot5\cdot3\cdot7\cdot5\cdot7$$ $$abc\cdot abc=(3\cdot5\cdot7)\cdot(3\cdot5\cdot7)$$ $$abc\cdot abc=105\cdot105.$$

Budući da su $a$, $b$, $c$ nenegativni racionalni brojevi, $abc$ ne može iznositi $-105$, pa zaključujemo da vrijedi $abc=105$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju odredimo da je $ab=15$, $bc=35$ i $ac=21$.

Iz $ab=15$, $ac=21$ slijedi

$$\frac{ab}{ac}=\frac{15}{21},$$

odnosno

$$\frac bc=\frac57.$$

Slijedi

$$b=\frac57c.$$

Uvrštavanjem u $bc=35$ dobijemo

$$\frac57c\cdot c=35,$$

odnosno $c^2=49$.

Odavde zbog $c\geq0$ slijedi $c=7$, pa je $b=5$ i $a=3$.

Stoga je $abc=105$.

Napomena 1. Da bismo izračunali vrijednosti izraza $ab$, $ac$ i $bc$, umjesto zbroja triju zadanih jednakosti možemo računati bilo koju razliku dviju zadanih jednakosti. Na primjer, oduzmemo li od druge jednakosti prvu, dobivamo

$$bc-ac=14.$$

Ako toj jednakosti dodamo treću, dobivamo

$$2bc=70$$ $$bc=35.$$

Uvrstimo li $bc=35$ u drugu jednakost, dobivamo $ab=15$.

Uvrstimo li $ab=15$ u prvu ili $bc=35$ u treću jednakost, dobivamo $ac=21$.