4. Zadatak

Prvo rješenje.

Na svakom dekadskom mjestu (od tisućica do jedinica) mogu se naći neparne znamenke $1$, $3$, $5$, $7$ i $9$.

Ako na mjesto znamenke tisućica stavimo $1$, na preostala $3$ mjesta možemo staviti bilo koju od $5$ neparnih znamenaka pa imamo $5\cdot5\cdot5=125$ brojeva koji počinju znamenkom $1$.

Također imamo $125$ brojeva kojima je na mjestu tisućica znamenka $3$, $5$, $7$ ili $9$.

Zaključujemo da se svaka od $5$ znamenaka pojavljuje $125$ puta na dekadskom mjestu tisućica, pa vrijednost zbroja svih tisućica iznosi $125\cdot(1+3+5+7+9)\cdot1000=125\cdot25\cdot1000$.

Isto se ponavlja na svakom dekadskom mjestu pa je

vrijednost zbroja svih stotica $125\cdot25\cdot100$,

vrijednost zbroja svih desetica $125\cdot25\cdot10$, a

vrijednost zbroja svih jedinica $125\cdot25\cdot1$.

Zbroj svih brojeva je stoga $125\cdot25\cdot(1000+100+10+1)=3125\cdot1111=3\ 471\ 875$.

Drugo rješenje.

Na svakom dekadskom mjestu (od tisućica do jedinica) mogu se naći neparne znamenke $1$, $3$, $5$, $7$ i $9$.

Svi četveroznamenkasti prirodni brojeva kojima su sve znamenke neparne čine niz:

$$1111,\ 1113,\ 1115,\ 1117,\ 1119,\ 1131,\ 1133,\ldots,\ 9991,\ 9993,\ 9995,\ 9997,\ 9999$$

u kojem su brojevi poredani od najmanjeg prema najvećem.

Uočimo da tih brojeva ima $5\cdot5\cdot5\cdot5=625$ jer se na svakom dekadskom mjestu može pojaviti bilo koja od $5$ neparnih znamenki.

Također uočimo da se mogu upariti brojevi:

$1111$ i $9999$,

$1113$ i $9997$,

$1115$ i $9995$,

$1117$ i $9993$,

$1119$ i $9991$,

$1131$ i $9979$ itd.

Zbroj brojeva u svakom paru iznosi $11\ 110$, a takvih parova ima $312$.

Jedini broj koji nema para je $5555$.

Stoga je zbroj svih tih brojeva jednak

$$312\cdot11\ 110+5555=3\ 466\ 320+5555=3\ 471\ 875.$$