4. Zadatak

Unutar velikog trokuta na slici nalazi se 16 malih trokutića poredanih u četiri razine. Od koliko bi se malih trokutića sastojao po istom načelu konstruiran veliki trokut koji bi imao 100 razina? Koliko bi trokutića bilo u posljednjoj, stotoj razini?

Službeni crtež trokuta podijeljenog u razine

Prvi način:

Povežemo li svaku razinu s brojem malih trokutića na njoj, uočavamo da vrijedi:

razina – 1 trokutić
razina – 3 trokutića
razina – 5 trokutića
razina – 7 trokutića …

Zaključujemo da će na 5. razini biti 9, na 6. razini 11 trokutića, itd…

tj. da će na $n$ -toj razini biti $2n-1$ trokutić.

Na posljednjoj, stotoj razini, bit će $2\cdot100-1=199$ trokutića.

Ukupan broj trokutića dobije se zbrajanjem $1+3+5+7+\ldots+199$ .

Primjenjujući Gaussovu dosjetku dobijemo

1+3+5+\ldots+197+199=(1+199)\cdot(100:2)=200\cdot50=10000.

Trokut sastavljen od 100 razina sadrži 10 000 trokutića.

Napomena: Računanje zbroja $1+3+5+7+\ldots+195+197+199$ moguće je na više načina.

Taj zbroj se može izračunati i ovako

\begin{aligned} 1+3+5+7+\ldots+195+197+199&=(1+199)+(3+197)+(5+195)+\ldots+(99+101)\\ &=200+200+200+\ldots+200 \end{aligned}

(ima 50 pribrojnika)

50\cdot200=10\,000

ili ovako

\begin{aligned} 1+3+5+7+\ldots+195+197+199&=(1+2+3+\ldots+199+200)\\ &\quad-(2+4+6+\ldots+198+200)\\ &=(200\cdot201):2-2\cdot(1+2+3+\ldots+99+100)\\ &=100\cdot201-2\cdot(100\cdot101:2)\\ &=20\,100-10\,100=10\,000. \end{aligned}

i na druge načine.

Drugi način:

U 1. razini je 1 trokutić.

U 1. i 2. razini je ukupno $1+3=4$ trokutića, pri čemu je $4=2\cdot2$ .

U 1., 2. i 3. razini ukupno je $1+3+5=9$ trokutića, pri čemu je $9=3\cdot3$ .

U 1., 2., 3. i 4. razini je ukupno $1+3+5+7=16$ trokutića, pri čemu je $16=4\cdot4$ .

U prvih pet razina nalazi se ukupno $5\cdot5=25$ trokutića,

u prvih šest razina broj trokutića je $6\cdot6=36$ ,

a to znači da trokut sastavljen od 100 razina sadrži $100\cdot100=10\,000$ trokutića.

Broj trokutića na pojedinoj razini nalazimo promatranjem početne situacije:

razina – 1 trokutić
razina – 3 trokutića, $3=2\cdot2-1$
razina – 5 trokutića, $5=2\cdot3-1$
razina – 7 trokutića, $7=2\cdot4-1$ …

Na 5. razini bit će 9 ( $9=2\cdot5-1$ ), na 6. razini 11 ( $11=2\cdot6-1$ ) trokutića, itd.…

tj. da će na $n$ -toj razini biti $2n-1$ trokutić.

Na posljednjoj, stotoj razini, bit će $2\cdot100-1=199$ trokutića.