5. Zadatak

Neka je (D) druga krajnja točka dužine paralelne s dužinom (\overline{AB}) točkom (X) i (E) druga krajnja točka dužine paralelne s dužinom (\overline{AB}) točkom (Y).

Promatramo trokute (\Delta XDC) i (\Delta ABC). Vrijedi da je (|\angle XCD|=|\angle ACB|) (zajednički kut kod vrha (C)) i

$$|\angle CXD|=|\angle CAB|$$

(kutovi s usporednim kracima ili kutovi uz presječnicu). Prema KK poučku, trokuti (\Delta XDC) i (\Delta ABC) su slični.

Iz (|CX|:|XA|=4:1) zaključujemo da je omjer (|CX|:|CA|=4:5), tj. koeficijent sličnosti tih trokuta je

$$k=\frac{4}{5}.$$

Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati ((k\cdot k)) duljina odgovarajućih stranica, dakle vrijedi

$$p_{\Delta XDC}:p_{\Delta ABC}=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{25},$$

odnosno

$$p_{\Delta XDC}=\frac{16}{25}p_{\Delta ABC}.$$

Izrazimo površinu osjenčanog dijela tj. površinu četverokuta (ABDX).

$$p_{ABDX}=p_{\Delta ABC}-p_{XDC}=p_{\Delta ABC}-\frac{16}{25}p_{\Delta ABC}=\frac{9}{25}p_{\Delta ABC}.$$

Iz uvjeta zadatka je

$$p_{\Delta YEC}=p_{ABDX}=\frac{9}{25}p_{\Delta ABC}.$$

Trokuti (\Delta YEC) i (\Delta ABC) su također slični prema poučku KK (zajednički kut kod vrha (C) i sukladni kutovi uz presječnicu).

Iz omjera površina tih trokuta

$$p_{\Delta YEC}:p_{\Delta ABC}=9:25,$$

slijedi da je koeficijent proporcionalnosti

$$k=|CY|:|CA|=3:5.$$

Tada je

$$|CY|:|YA|=3:2.$$