5. Zadatak

U trokutu $\Delta ABC$ , točkama $X$ i $Y$ na stranici $\overline{AC}$ nacrtane su dužine usporedne sa stranicom $\overline{AB}$ . Točka $X$ dijeli dužinu $\overline{AC}$ na dva dijela tako da je $|AX|:|XC|=1:4$ . Ako su površine dvaju zatamnjenih dijelova trokuta $\Delta ABC$ jednake, izračunaj omjer $|CY|:|YA|$ .

Službena skica zadatka

Rješenje

Neka je $D$ druga krajnja točka dužine paralelne s dužinom $\overline{AB}$ točkom $X$ i $E$ druga krajnja točka dužine paralelne s dužinom $\overline{AB}$ točkom $Y$ .

Službena skica rješenja

Promatramo trokute $\Delta XDC$ i $\Delta ABC$ . Vrijedi da je $|\angle XCD|=|\angle ACB|$ (zajednički kut kod vrha $C$ ) i

|\angle CXD|=|\angle CAB|

(kutovi s usporednim kracima ili kutovi uz presječnicu). Prema KK poučku, trokuti $\Delta XDC$ i $\Delta ABC$ su slični.

Iz $|CX|:|XA|=4:1$ zaključujemo da je omjer $|CX|:|CA|=4:5$ , tj. koeficijent sličnosti tih trokuta je

k=\frac{4}{5}.

Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati ((k\cdot k)) duljina odgovarajućih stranica, dakle vrijedi

p_{\Delta XDC}:p_{\Delta ABC}=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{25},

odnosno

p_{\Delta XDC}=\frac{16}{25}p_{\Delta ABC}.

Izrazimo površinu osjenčanog dijela tj. površinu četverokuta $ABDX$ .

p_{ABDX}=p_{\Delta ABC}-p_{XDC}=p_{\Delta ABC}-\frac{16}{25}p_{\Delta ABC}=\frac{9}{25}p_{\Delta ABC}.

Iz uvjeta zadatka je

p_{\Delta YEC}=p_{ABDX}=\frac{9}{25}p_{\Delta ABC}.

Trokuti $\Delta YEC$ i $\Delta ABC$ su također slični prema poučku KK (zajednički kut kod vrha $C$ i sukladni kutovi uz presječnicu).

Iz omjera površina tih trokuta

p_{\Delta YEC}:p_{\Delta ABC}=9:25,

slijedi da je koeficijent proporcionalnosti

k=|CY|:|CA|=3:5.

Tada je

|CY|:|YA|=3:2.