1. Zadatak

Prvi način:

Za šiljaste kutove $\alpha$ i $\beta$ pravokutnog trokuta vrijedi $\alpha+\beta=90^\circ$.

Iz $\alpha=4k$ i $\beta=5k$ redom slijedi:

$$4k+5k=90^\circ,$$ $$9k=90^\circ,$$

i konačno je $k=10^\circ$, odakle je $\alpha=40^\circ$ i $\beta=50^\circ$.

Kut $\alpha$ se smanjio za $8\%$ od $40^\circ$, što iznosi $3.2^\circ=3^\circ12'$, pa je sada

$$\alpha_1=40^\circ-3^\circ12'=36^\circ48'.$$

Onda je kut $\beta_1=90^\circ-36^\circ48'=53^\circ12'$ (ili $\beta_1=50^\circ+3^\circ12'=53^\circ12'$).

Kut $\beta$ se, dakle, povećao za $3^\circ12'$.

Kako je $3.2:50=0.064$, zaključujemo da se veći kut povećao za $6.4\%$.

Drugi način:

Iz omjera $\alpha:\beta=4:5$ dobije se $5\alpha=4\beta$ i

$$\alpha=\frac{4}{5}\beta.$$

Za šiljaste kutove $\alpha$ i $\beta$ pravokutnog trokuta vrijedi $\alpha+\beta=90^\circ$, odnosno

$$\frac{4}{5}\beta+\beta=90^\circ.$$

Dalje je

$$\frac{9}{5}\beta=90^\circ,$$

iz čega se izračuna $\beta=50^\circ$.

Tada je $\alpha=90^\circ-50^\circ=40^\circ$.

Kut $\alpha$ se smanjio za $8\%$ od $40^\circ$, što iznosi $3.2^\circ=3^\circ12'$, pa je sada

$$\alpha_1=40^\circ-3^\circ12'=36^\circ48'.$$

Onda je kut $\beta_1=90^\circ-36^\circ48'=53^\circ12'$ (ili $\beta_1=50^\circ+3^\circ12'=53^\circ12'$).

Kut $\beta$ se, dakle, povećao za $3^\circ12'$.

Kako je $3.2:50=0.064$, zaključujemo da se veći kut povećao za $6.4\%$.

Treći način:

Za šiljaste kutove $\alpha$ i $\beta$ pravokutnog trokuta vrijedi $\alpha+\beta=90^\circ$, pa je $\beta=90^\circ-\alpha$.

Tada je

$$\alpha:(90^\circ-\alpha)=4:5.$$

Iz $5\alpha=360^\circ-4\alpha$ dobiva se $9\alpha=360^\circ$ i $\alpha=40^\circ$.

Tada je $\beta=90^\circ-40^\circ=50^\circ$.

Kut $\alpha$ se smanjio za $8\%$ od $40^\circ$, što iznosi $3.2^\circ=3^\circ12'$, pa je sada

$$\alpha_1=40^\circ-3^\circ12'=36^\circ48'.$$

Onda je kut $\beta_1=90^\circ-36^\circ48'=53^\circ12'$ (ili $\beta_1=50^\circ+3^\circ12'=53^\circ12'$).

Kut $\beta$ se, dakle, povećao za $3^\circ12'$.

Kako je $3.2:50=0.064$, zaključujemo da se veći kut povećao za $6.4\%$.