3. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo zadanu razliku u obliku umnoška

$$n^3-m^2n=n\cdot(n^2-m^2)=n(n-m)(n+m).$$

Kako broj $m$ nije djeljiv s $3$, promatramo dva slučaja: $m=3k+1$ i $m=3k+2$, pri čemu je $k\in\mathbb N_0$.

Ako je $m=3k+1$,

$$n(n-m)(n+m)=n(n-3k-1)(n+3k+1)=n((n-1)-3k)((n+1)+3k).$$

Brojevi $n-1$, $n$, $n+1$ su uzastopni prirodni brojevi pa je jedan od njih sigurno djeljiv s $3$.

• Ako je $n$ djeljiv s $3$, tada je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.
• Ako je $n-1$ djeljiv s $3$, tada je razlika $((n-1)-3k)$ djeljiva s $3$ pa je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.
• Ako je $n+1$ djeljiv s $3$, tada je zbroj $((n+1)+3k)$ djeljiv s $3$ pa je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.

Ako je $m=3k+2$,

$$n(n-m)(n+m)=n(n-3k-2)(n+3k+2)=n((n-2)-3k)((n+2)+3k).$$

Brojevi $n-2$, $n$, $n+2$ su tri uzastopna parna ili tri uzastopna neparna broja. Jedan od njih je sigurno djeljiv s $3$.

• Ako je $n$ djeljiv s $3$, tada je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.
• Ako je $n-2$ djeljiv s $3$, tada je razlika $((n-2)-3k)$ djeljiva s $3$ pa je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.
• Ako je $n+2$ djeljiv s $3$, tada je zbroj $((n+2)+3k)$ djeljiv s $3$ pa je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.

Drugo rješenje.

Zapišimo zadanu razliku u obliku umnoška

$$n^3-m^2n=n\cdot(n^2-m^2)=n(n-m)(n+m).$$

Razlika brojeva $n+m$ i $n$ je $m$, što nije djeljivo s $3$, pa $n+m$ i $n$ imaju različit ostatak pri dijeljenju s $3$.

Razlika brojeva $n$ i $n-m$ je $m$, što nije djeljivo s $3$, pa $n$ i $n-m$ imaju različit ostatak pri dijeljenju s $3$.

Razlika brojeva $n+m$ i $n-m$ je $2m$, što nije djeljivo s $3$, pa $n+m$ i $n-m$ imaju različit ostatak pri dijeljenju s $3$.

Brojevi $n+m$, $n$ i $n-m$ daju različite ostatke pri dijeljenju brojem $3$.

Stoga je točno jedan od njih djeljiv s $3$ pa je i umnožak $n(n-m)(n+m)$ djeljiv s $3$.