1. Zadatak

Prvo rješenje.

Duljine susjednih stranica pravokutnika su $\overline{xx}$ i $x^2$ pa je $x\ne0$, tj. $x\in\{1,2,\ldots,9\}$.

Površina pravokutnika je $\overline{xx}\cdot x^2=\overline{3xx3}$.

Umnožak $\overline{3xx3}$ je neparan broj pa je dovoljno promatrati $x\in\{1,3,5,7,9\}$.

Posljednja znamenka umnoška $\overline{3xx3}$ je $3$:

• Za $x=1$ posljednja znamenka umnoška $11\cdot1^2$ je različita od $3$ pa $x\ne1$.
• Za $x=3$ posljednja znamenka umnoška $33\cdot3^2$ je različita od $3$ pa $x\ne3$.
• Za $x=5$ posljednja znamenka umnoška $55\cdot5^2$ je različita od $3$ pa $x\ne5$.
• Za $x=9$ posljednja znamenka umnoška $99\cdot9^2$ je različita od $3$ pa $x\ne9$.

Provjerom $77\cdot49=3773$ dobivamo rješenje $x=7$.

Drugo rješenje.

Duljine susjednih stranica pravokutnika su $\overline{xx}$ i $x^2$ pa je $x\ne0$, tj. $x\in\{1,2,\ldots,9\}$.

Površina pravokutnika je $\overline{xx}\cdot x^2=\overline{3xx3}$.

$$(x\cdot10+x)\cdot x^2=3\cdot1000+x\cdot100+x\cdot10+3$$ $$11x^3=110x+3003$$ $$11x^3-110x=3003$$ $$11\cdot(x^3-10x)=11\cdot273$$ $$x^3-10x=273$$ $$x\cdot(x^2-10)=273$$

Rastavom broja $273$ na proste faktore, $273=3\cdot7\cdot13$ i provjerom, dobiva se da je $x=7$.