5. Zadatak

Dopunimo pravokutnik $ABCD$ sa sukladnim pravokutnikom kao na slici. Odaberimo na $\overline{EF}$ točku $Q$ takvu da je $|EQ|=\frac23|EF|$.

Označimo zbog jednostavnosti $|BC|=x$. Promotrimo sada pravokutne trokute $AEQ$ i $QFC$. Kako je $|AE|=|QF|=x$ i $|EQ|=|CF|=2x$, slijedi da su oni sukladni. Iz te sukladnosti slijedi

$$|AQ|=|QC|\tag{*}$$

te

$$|\angle EAQ|=|\angle CQF|\quad\text{i}\quad|\angle EQA|=|\angle QCF|.\tag{**}$$

Sada je zbog (*) i (**) trokut $AQC$ jednakokračan pravokutan. Nadalje, kako je $|PB|=2x$ i $|BC|=x$, slijedi da su pravokutni trokuti $PBC$ i $AEQ$ sukladni. Iz te sukladnosti slijedi da je $|\angle CPB|=|\angle EQA|$. Kako su $\angle EQA$ i $\angle QAB$ kutovi uz presječnicu, slijedi da je $|\angle EQA|=|\angle QAB|$. Konačno,

$$|\angle CAB|+|\angle CPB|=|\angle CAB|+|\angle EQA|=|\angle CAB|+|\angle QAB|=|\angle QAC|.$$

Kako je trokut $QAC$ jednakokračan pravokutan, slijedi da je $|\angle QAC|=45^\circ$ čime je dokaz završen.