3. Zadatak

Simetrale unutarnjih kutova su ujedno i presječnice paralelnih stranica pravokutnika pa s njima zatvaraju kutove od $45^\circ$.

Neka su to presječne točke $I$, $J$, $K$ i $L$.

Vrijedi

$$\lvert\angle AID\rvert=\lvert\angle ALD\rvert=\lvert\angle BJC\rvert=\lvert\angle BKC\rvert=45^\circ.$$

Kako je $\lvert\angle DAL\rvert=\lvert\angle ALD\rvert=45^\circ$, trokut $ALD$ je jednakokračan pravokutan trokut pa je

$$\lvert AD\rvert=\lvert DL\rvert=3\ \mathrm{cm}.$$

Isto tako je i $\lvert BC\rvert=\lvert CK\rvert=3$ cm, a

$$\lvert KL\rvert=\lvert CD\rvert-\lvert CK\rvert-\lvert LD\rvert=9-3-3=3\ \mathrm{cm}.$$

Znači da je $\lvert DL\rvert=\lvert LK\rvert=\lvert KC\rvert$. Na isti način pokazujemo da je $\lvert AI\rvert=\lvert IJ\rvert=\lvert JB\rvert$.

Zadani pravokutnik možemo podijeliti na tri sukladna kvadrata.

Trokuti $HLD$ i $GLK$ su sukladni jer je

$$\lvert DL\rvert=\lvert LK\rvert,\quad \lvert\angle HLD\rvert=\lvert\angle KLG\rvert,\quad \lvert\angle HDL\rvert=\lvert\angle FKC\rvert=\lvert\angle LKG\rvert.$$

Isto tako sukladni su i trokuti $AIH$ i $JIE$.

U kvadratu $AILD$ sukladni su trokuti $AIH$, $ILH$, $LDH$ i $DAH$ (KSK poučak) i svaki čini četvrtinu kvadrata. Zbog toga se od trokuta $IEJ$, $JFK$, $KGL$ i $LHI$ može sastaviti kvadrat sa stranicom duljine 3 cm, pa je površina četverokuta $EFGH$ jednaka površini dva kvadrata sa stranicama duljine 3 cm i iznosi $P=2\cdot3\cdot3$ odnosno $P=18\ \mathrm{cm}^2$.

Površina četverokuta $EFGH$ iznosi $18\ \mathrm{cm}^2$.