5. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Neka je $|AB|=|DC|=a$, $|BE|=x$, $|EC|=y$. Tada je $|AD|=|BC|=x+y$.

Time je zadani pravokutnik $ABCD$ razdijeljen na pravokutni trokut $ECD$ i pravokutni trapez $ABED$ kojemu su $\overline{AD}$ i $\overline{BE}$ osnovice, a $\overline{AB}$ visina.

$$P_{ABED}=\frac{(x+y)+x}{2}\cdot a$$ $$P_{ECD}=\frac{y}{2}\cdot a$$

Površina pravokutnog trokuta je manja od polovice površine pravokutnika pa je $P_{ABED}:P_{ECD}=6:1$.

Primjenom formula za površine tih likova dobijemo:

$$\frac{(2x+y)\cdot a}{2}:\frac{y\cdot a}{2}=6:1$$ $$(2x+y):y=6:1$$ $$2x+y=6y$$ $$2x=5y$$ $$x:y=5:2,$$

odnosno $|BE|:|CE|=5:2$ ili $|CE|:|BE|=2:5$.

Drugi način:

Skica:

Neka je $|AB|=|DC|=a$, $|BE|=x$, $|EC|=y$. Tada je $|AD|=|BC|=x+y$.

Time je zadani pravokutnik $ABCD$ podijeljen na pravokutni trokut $ECD$ i pravokutni trapez $ABED$.

Površina trapeza $ABED$ može se izračunati tako da se od površine pravokutnika $ABCD$ oduzme površina pravokutnog trokuta $ECD$.

$$P_{ABED}=a\cdot(x+y)-\frac{a\cdot y}{2}$$ $$=ax+ay-\frac{ay}{2}=ax+\frac{ay}{2}$$ $$=\frac{a\cdot(2x+y)}{2}$$ $$P_{ECD}=\frac{a\cdot y}{2}$$

Površina pravokutnog trokuta je manja od polovice površine pravokutnika pa je $P_{ABED}:P_{ECD}=6:1$.

Primjenom formula za površine tih likova dobijemo:

$$\frac{(2x+y)\cdot a}{2}:\frac{y\cdot a}{2}=6:1$$ $$(2x+y):y=6:1$$ $$2x+y=6y$$ $$2x=5y$$ $$x:y=5:2,$$

odnosno $|BE|:|CE|=5:2$ ili $|CE|:|BE|=2:5$.